Paradoxul zilei de naștere: ce este și cum se explică

Să ne imaginăm că suntem cu un grup de oameni, de exemplu, la o reuniune de familie, o reuniune de clasă primară sau pur și simplu la o băutură într-un bar. Să zicem că sunt vreo 25 de oameni.

Între zgomot și conversațiile superficiale, ne-am deconectat puțin și am început să ne gândim la lucruri și, deodată, ne întrebăm: care trebuie să fie probabilitatea ca printre acești oameni doi oameni să aibă zile de naștere pe aceeași zi?

Paradoxul zilei de naștere este un adevăr matematic, contrar instinctului nostru, care spune că foarte puțini oameni sunt necesari pentru a exista o probabilitate aproape aleatorie ca doi dintre ei să aibă aceeași zi de naștere. Să încercăm să înțelegem mai amănunțit acest paradox curios.

• Articol înrudit: "Inteligența logico-matematică: ce este și cum o putem îmbunătăți?"

Paradoxul zilei de naștere

Paradoxul zilei de naștere este un adevăr matematic care stabilește că într-un grup de doar 23 de persoane există o probabilitate apropiată de întâmplare, mai exact 50,7%,

că cel puțin doi dintre acești oameni au aceeași zi de naștere. Popularitatea acestei afirmații matematice se datorează faptului surprinzător că atât de puține sunt necesare. oamenii să aibă o șansă destul de sigură că vor avea meciuri la ceva la fel de variat precum ziua de naștere.

Deși acest fapt matematic este numit paradox, în sens strict nu este. Este mai degrabă un paradox în măsura în care se dovedește a fi curios, deoarece este destul de contrar bunului simț. Când cineva este întrebat de câți oameni cred că este nevoie pentru ca cei doi să aibă zile de naștere în aceeași zi, oamenii tind să dea intuitiv 183, adică jumătate din 365.

Gândul din spatele acestei valori este că prin înjumătățirea numărului de zile dintr-un an obișnuit se obține minimul necesar pentru a exista o probabilitate apropiată de 50%.

In orice caz, nu este surprinzător faptul că valori atât de mari sunt date atunci când încercați să răspundeți la această întrebare, deoarece oamenii înțeleg adesea greșit problema. Paradoxul zilei de naștere nu se referă la probabilitățile ca o anumită persoană să aibă o zi de naștere în ceea ce privește altul în grup, dar, după cum am comentat, șansele ca oricare două persoane din grup să aibă aceeași zi de naștere zi.

Explicarea matematică a fenomenului

Pentru a înțelege acest adevăr matematic surprinzător, primul lucru de făcut este să rețineți că există multe posibilități de a găsi cupluri care au aceeași zi de naștere.

La prima vedere, s-ar crede că 23 de zile, adică cea de-a 23-a aniversare a membrilor trupei, este o fracțiune prea mică din numărul posibil de zile distincte, 365 de zile dintr-un an non-bisect sau 366 de zile în anii bisecți, ca și cum ar fi să vă așteptați la repetări. Această gândire este într-adevăr corectă, dar numai dacă ne așteptăm să se repete într-o anumită zi. Adică și așa cum am comentat deja, ar trebui să adunăm multă lume, astfel încât să mai existe o posibilitate sau mai puțin aproape de 50% din unul dintre membrii grupului care are o zi de naștere cu noi înșine, pentru a pune un exemplu.

Cu toate acestea, în paradoxul zilei de naștere apar orice repetări. Adică de câte persoane sunt necesare pentru ca două dintre acele persoane să își aibă ziua de naștere în aceeași zi, fiind persoana sau zile oricare. Pentru a înțelege și a arăta matematic, În continuare vom vedea mai în profunzime procedura din spatele paradoxului.

• Te-ar putea interesa: "12 curiozități despre mintea umană"

Posibilitatea unei posibile potriviri

Să ne imaginăm că avem doar doi oameni într-o cameră. Aceste două persoane, C1 și C2, ar putea forma doar un cuplu (C1=C2), cu care avem un singur cuplu în care se poate repeta o zi de naștere. Fie au zilele de naștere în aceeași zi, fie nu au aceeași zi de naștere, nu există alte alternative..

Pentru a afirma matematic acest fapt, avem următoarea formulă:

(Nr. de persoane x combinații posibile)/2 = posibilități de posibilă coincidență.

În acest caz, acesta ar fi:

(2 x 1)/2 = 1 șansă pentru o posibilă potrivire

Ce se întâmplă dacă în loc de doi oameni sunt trei? Șansele de meci cresc până la trei, datorită faptului că între aceste trei persoane se pot forma trei perechi (Cl=C2; CI=C3; C2=C3). Reprezentate matematic avem:

(3 persoane X 2 combinații posibile)/2 = 3 șanse de un posibil meci

Cu patru există șase posibilități ca acestea să coincidă între ele:

(4 persoane X 3 combinații posibile)/2 = 6 șanse de un posibil meci

Dacă mergem până la zece persoane, avem mult mai multe posibilități:

(10 persoane X 9 combinații posibile)/2 = 45

Cu 23 de persoane sunt (23×22)/2 = 253 de cupluri diferite, fiecare dintre ei candidat pentru ca cei doi membri ai săi să aibă zile de naștere în aceeași zi, dându-și paradoxul zilei de naștere și având mai multe posibilități de a avea o coincidență aniversară.

estimarea probabilității

Vom calcula care este probabilitatea ca un grup cu dimensiunea n să formeze două persoane, oricare ar fi ei, își au ziua de naștere în aceeași zi. Pentru acest caz specific, vom elimina anii bisecți și gemeni, presupunând că există 365 de zile de naștere care au aceeași probabilitate.

Folosind regula lui Laplace și combinatorie

În primul rând, trebuie să calculăm probabilitatea ca n persoane să aibă zile de naștere diferite. Adică, calculăm probabilitatea opusă a ceea ce este afirmat în paradoxul zilei de naștere. Pentru aceasta, Trebuie să luăm în considerare două evenimente posibile atunci când luăm în considerare calculele.

Evenimentul A = {două persoane își sărbătoresc ziua de naștere în aceeași zi} Complementar cu evenimentul A: A^c = {două persoane nu își sărbătoresc ziua de naștere în aceeași zi}

Să luăm ca caz particular un grup cu cinci persoane (n=5)

Pentru a calcula numărul de cazuri posibile, folosim următoarea formulă:

zilele anului^n

Ținând cont de faptul că un an normal are 365 de zile, numărul posibilelor cazuri de sărbătorire a zilei de naștere este:

365^5 = 6,478 × 10^12

Primul dintre oamenii pe care îi selectăm s-ar putea să se fi născut, așa cum este logic să credem, în oricare dintre cele 365 de zile ale anului. Următorul poate să se fi născut într-una dintre cele 364 de zile rămase, iar următorul din următorul s-ar putea să se fi născut într-una dintre cele 363 de zile rămase și așa mai departe.

Din aceasta rezultă următorul calcul: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6.303 × 10^12, care dă ca rezultatul este numărul de cazuri în care nu există două persoane din acel grup de 5 care s-au născut la fel zi.

Aplicând regula lui Laplace, vom calcula:

P (A^c) = cazuri favorabile/cazuri posibile = 6,303 / 6,478 = 0,973

Aceasta înseamnă că șansele ca două persoane din grupul de 5 să nu aibă zile de naștere în aceeași zi sunt de 97,3%. Cu aceste date putem obtine posibilitatea ca doua persoane sa isi faca ziua de nastere in aceeasi zi, obtinand valoarea complementara.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Astfel, din aceasta se extrage că șansele ca într-un grup de cinci persoane, două dintre ele să aibă o zi de naștere în aceeași zi sunt de doar 2,7%.

Înțelegând acest lucru, putem schimba dimensiunea eșantionului. Probabilitatea ca cel puțin două persoane dintr-o adunare de n persoane să aibă aceeași naștere poate fi obținută folosind următoarea formulă:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

În cazul în care n este 23, probabilitatea ca cel puțin două dintre acele persoane să sărbătorească ani în aceeași zi este de 0,51.

Motivul pentru care această dimensiune specifică a eșantionului a devenit atât de faimoasă este pentru că cu n = 23 există o probabilitate egală ca cel puțin două persoane să sărbătorească ziua de naștere în aceeași zi.

Dacă creștem la alte valori, de exemplu 30 sau 50, avem probabilități mai mari de 0,71 și respectiv 0,97, sau ceea ce este același, 71% și 97%. Cu n = 70 avem aproape garantat că două dintre ele vor coincide cu ziua de naștere, cu o probabilitate de 0,99916 sau 99,9%

Folosind regula lui Laplace și regula produsului

Un alt mod nu atât de exagerat de a înțelege problema este de a o pune după cum urmează.

Să ne imaginăm că 23 de persoane sunt împreună într-o cameră și vrem să calculăm șansele ca ei să nu împartă zilele de naștere.

Să presupunem că în cameră este o singură persoană. Șansele ca toți cei din cameră să aibă zile de naștere diferite sunt evident de 100%, adică probabilitatea 1. Practic, acea persoană este singură și, din moment ce nimeni altcineva nu este acolo, ziua ei de naștere nu coincide cu cea a altcuiva.

Acum intră o altă persoană și, prin urmare, sunt două persoane în cameră. Şansele ca ea să aibă o altă zi de naştere decât prima persoană sunt 364/365, aceasta este 0,9973 sau 99,73%.

Introduceți un al treilea. Probabilitatea ca ea să aibă o altă zi de naștere decât celelalte două persoane, care au intrat înaintea ei, este de 363/365. Cota ca toți trei să aibă zile de naștere diferite este de 364/365 ori 363/365 sau 0,9918.

Deci, opțiunile pentru 23 de persoane care au zile de naștere diferite sunt 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, rezultând 0,493.

Cu alte cuvinte, există o probabilitate de 49,3% ca niciunul dintre cei prezenți să nu aibă o zi de naștere în aceeași zi și, prin urmare, invers, calculând complementarul acelui procent avem că există o șansă de 50,7% ca cel puțin doi dintre ei să împartă zi de nastere

Spre deosebire de paradoxul zilei de naștere, probabilitatea ca cineva într-o cameră de n persoană ziua de naștere în aceeași zi cu o anumită persoană, de exemplu, noi înșine în cazul în care suntem acolo, este dat de următoarea formulă.

1- (364/365)^n

Cu n = 23, ar da aproximativ 0,061 probabilitate (6%), necesitând cel puțin n = 253 pentru a da o valoare apropiată de 0,5 sau 50%.

Paradoxul în realitate

Sunt multiple situații în care putem vedea că acest paradox este îndeplinit. Aici vom pune două cazuri reale.

Prima este cea a regilor Spaniei. Numărând de la domnia Monarhilor Catolici din Castilia și Aragon până la cea a lui Felipe al VI-lea al Spaniei, avem 20 de monarhi legitimi. Printre acești regi găsim, în mod surprinzător, două cupluri care coincid la zilele de naștere: Carlos al II-lea cu Carlos IV (11 noiembrie) și José I cu Juan Carlos I (5 ianuarie). Posibilitatea ca să existe o singură pereche de monarhi cu aceeași zi de naștere, ținând cont de faptul că n = 20, este

Un alt caz real este cel al Marii Finale Eurovision 2019. În finala acelui an, desfășurată la Tel Aviv, Israel, au participat 26 de țări, dintre care 24 Au trimis fie cântăreți solo, fie grupuri unde figura cântăreței a luat un rol aparte. Printre aceștia, doi cântăreți au coincis la o zi de naștere: reprezentantul Israelului, Kobi Marimi și cel din Elveția, Luca Hänni, ambii sărbătorindu-și ziua de naștere pe 8 octombrie.

Referințe bibliografice:

• Abramson, M.; Moser, W. FIE. J. (1970). „Mai multe surprize pentru ziua de naștere”. American Mathematical Monthly. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
• Bloom, d. (1973). „O problemă cu ziua de naștere”. American Mathematical Monthly. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
• Klamkin, M.; Newman, D. (1967). „Prelungiri ale surprizei de ziua de naștere”. Jurnalul de Teorie Combinatorie. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9