Парадокс рођендана: шта је то и како то објаснити

Замислимо да смо са групом људи, на пример, на окупљању породице, окупљању основне класе или једноставно на пићу у бару. Рецимо да има око 25 људи.

Између буке и површних разговора, мало смо се одвојили и почели да размишљамо о свом ствари и, одједном, питамо се: колика мора бити вероватноћа да међу овим људима двоје људи имају рођендане истог дана?

Парадокс рођендана је математичка истина, супротно нашем инстинкту, који сматра да је потребно врло мало људи да би постојала скоро случајна вероватноћа да двоје од њих имају исти рођендан. Покушајмо детаљније да разумемо овај чудни парадокс.

• Повезани чланак: "Логичко-математичка интелигенција: шта је то и како је можемо побољшати?"

Парадокс рођендана

Рођендански парадокс је математичка истина која утврђује да у групи од само 23 особе постоји вероватноћа блиска случају, тачније 50,7% да најмање двоје од тих људи имају исти рођендан. Популарност ове математичке изјаве је због изненађујуће чињенице да их је тако мало неопходно. људи да имају прилично сигурну шансу да ће се поклапати на нешто тако разнолико као што је рођендан.

Иако се ова математичка чињеница назива парадоксом, у строгом смислу није. То је пре парадокс утолико што се испостави да је радознало, пошто је то сасвим супротно здравом разуму. Када некога питају колико људи мисле да је потребно да њих двоје имају рођендане истог дана, људи су склони да интуитивно дају 183, односно половину од 365.

Мишљење иза ове вредности је да се преполовљењем броја дана у обичној години добија минимум неопходан да постоји вероватноћа близу 50%.

Међутим, није изненађујуће да се тако високе вредности дају када се покушава одговорити на ово питање, пошто људи често погрешно схватају проблем. Парадокс рођендана се не односи на вероватноће да одређена особа има рођендан у односу на још један у групи, али, као што смо коментарисали, шансе да било које две особе у групи имају исти рођендан дан.

Математичко објашњење појаве

Да бисте разумели ову изненађујућу математичку истину, прво што треба да урадите је да имате на уму да постоји много могућности да пронађете парове који имају исти рођендан.

На први поглед би се могло помислити да је 23 дана, односно 23. рођендан чланова бенда. премали део могућег броја различитих дана, 365 дана непреступне године, или 366 у преступној години, као да очекује понављања. Ово размишљање је заиста тачно, али само ако очекујемо понављање одређеног дана. Односно, а као што смо већ коментарисали, требало би да скупимо много људи да би постојала још једна могућност или мање близу 50% једног од чланова групе има рођендан са нама, да ставимо пример.

Међутим, у парадоксу рођендана долази до било каквог понављања. Односно, колико је људи потребно да двоје од тих људи имају рођендан истог дана, да ли је особа или дани било који. Да бисмо то разумели и математички показали, Затим ћемо детаљније видети процедуру иза парадокса.

• Можда ће вас занимати: "12 занимљивости о људском уму"

Могућност могућег подударања

Замислимо да имамо само две особе у соби. Ове две особе, Ц1 и Ц2, могле су да формирају само пар (Ц1=Ц2), са којим имамо само један пар у коме се може поновити рођендан. Или имају рођендан истог дана, или немају исти рођендан, нема друге алтернативе..

Да бисмо математички изразили ову чињеницу, имамо следећу формулу:

(Бр. људи к могуће комбинације)/2 = могућности могуће случајности.

У овом случају, ово би било:

(2 к 1)/2 = 1 шанса за могућу утакмицу

Шта се дешава ако уместо двоје људи има троје? Шансе за меч иду на три, захваљујући чињеници да се између ове три особе могу формирати три пара (Цл=Ц2; Цл=Ц3; Ц2=Ц3). Математички представљено имамо:

(3 особе Кс 2 могуће комбинације)/2 = 3 шансе за могући меч

Са четири постоји шест могућности да се поклапају између њих:

(4 особе Кс 3 могуће комбинације)/2 = 6 шанси за могући меч

Ако идемо до десет људи, имамо много више могућности:

(10 људи Кс 9 могућих комбинација)/2 = 45

Са 23 особе има (23×22)/2 = 253 различита пара, сваки од њих је кандидат да њихова два члана имају рођендане истог дана, што себи даје рођендански парадокс и има више могућности да имају рођенданску коинциденцију.

процена вероватноће

Израчунаћемо колика је вероватноћа да група величине н има двоје људи, какви год да су, исти дан имају рођендан. За овај конкретан случај, одбацићемо преступне године и близанце, под претпоставком да постоји 365 рођендана који имају исту вероватноћу.

Користећи Лапласово правило и комбинаторику

Прво, морамо израчунати вероватноћу да н људи има различите рођендане. Односно, израчунавамо вероватноћу супротну од онога што је наведено у парадоксу рођендана. За ово, Морамо узети у обзир два могућа догађаја када разматрамо прорачуне.

Догађај А = {две особе славе своје рођендане истог дана} Комплементарно догађају А: А^ц = {две особе не славе рођендане истог дана}

Узмимо као посебан случај групу са пет људи (н=5)

Да бисмо израчунали број могућих случајева, користимо следећу формулу:

дана у години^н

Узимајући у обзир да нормална година има 365 дана, број могућих случајева прославе рођендана је:

365^5 = 6,478 × 10^12

Први од људи које бирамо можда је рођен, као што је логично мислити, било којег од 365 дана у години. Следећи је можда рођен у неком од преостала 364 дана, а следећи од следећег је можда рођен у неком од преостала 363 дана, итд.

Из овога следи следећи прорачун: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6,303 × 10^12, што даје као резултат је број случајева да у тој групи од 5 особа нема две особе које су рођене исто дан.

Примењујући Лапласово правило, израчунали бисмо:

П (А^ц) = повољни случајеви/могући случајеви = 6,303 / 6,478 = 0,973

То значи да Шансе да двоје људи у групи од 5 нема рођендана истог дана су 97,3%. Са овим подацима можемо добити могућност да двоје људи имају рођендан истог дана, добијајући комплементарну вредност.

п(А) = 1 - п(А^ц) = 1 - 0,973 = 0,027

Тако се из овога извлачи да су шансе да у групи од петоро људи двоје имају рођендан истог дана само 2,7%.

Разумевајући ово, можемо променити величину узорка. Вероватноћа да најмање две особе у скупу од н људи имају исти рођендан може се добити помоћу следеће формуле:

1- ((365к364к363к…(365-н+1))/365^н)

У случају да је н 23, вероватноћа да најмање двоје од тих људи славе године истог дана је 0,51.

Разлог зашто је ова специфична величина узорка постала толико позната је зато што је са н = 23 постоји чак и вероватноћа да најмање двоје људи славе рођендан истог дана.

Ако повећамо на друге вредности, на пример 30 или 50, имамо веће вероватноће од 0,71 и 0,97, односно што је исто, 71% и 97%. Са н = 70 готово је загарантовано да ће се њих двоје поклопити на рођендан, са вероватноћом од 0,99916 или 99,9%

Коришћење Лапласовог правила и правила производа

Други не тако натегнут начин разумевања проблема је да се постави на следећи начин.

Замислимо да су 23 особе заједно у соби и желимо да израчунамо шансе да не деле рођендане.

Претпоставимо да је у соби само једна особа. Шансе да ће сви у просторији имати различите рођендане су очигледно 100%, односно вероватноћа 1. У суштини, та особа је сама, а пошто нико други није ту, њен рођендан се не поклапа ни са нечијим.

Сада улази друга особа, па су у просторији две особе. Шансе да она има другачији рођендан од прве особе су 364/365, ово је 0,9973 или 99,73%.

Унесите трећину. Вероватноћа да она има другачији рођендан од друге две особе, које су ушле пре ње, је 363/365. Шансе да сва тројица имају различите рођендане су 364/365 пута 363/365, односно 0,9918.

Дакле, опције за 23 особе које имају различите рођендане су 364/365 к 363/365 к 362/365 к 361/365 к... к 343/365, што резултира 0,493.

Другим речима, постоји 49,3% вероватноће да нико од присутних нема рођендан истог дана и, дакле, обрнуто, Рачунајући комплементарност тог процента имамо да постоји 50,7% шансе да најмање двоје њих деле рођендан

За разлику од парадокса рођендана, вероватноћа да било ко у соби од н особе рођендан истог дана као и одређена особа, на пример, ми сами у случају да смо тамо, је дата следећом формулом.

1- (364/365)^н

Са н = 23 то би дало око 0,061 вероватноће (6%), захтевајући најмање н = 253 да би се дала вредност близу 0,5 или 50%.

Парадокс у стварности

Постоји више ситуација у којима можемо видети да је овај парадокс испуњен. Овде ћемо ставити два стварна случаја.

Први је онај краљева Шпаније. Рачунајући од владавине католичких монарха Кастиље и Арагона до владавине Фелипеа ВИ од Шпаније, имамо 20 легитимних монарха. Међу овим краљевима налазимо, изненађујуће, два пара који се поклапају на рођенданима: Карлос ИИ са Карлосом ИВ (11. новембра) и Хосе И са Хуаном Карлосом И (5. јануар). Могућност да је постојао само један пар монарха са истим рођенданом, узимајући у обзир да је н = 20, је

Још један прави случај је велико финале Евровизије 2019. У финалу те године, одржаном у Тел Авиву, у Израелу, учествовало је 26 земаља, од којих 24 Слали су или соло певаче или групе у којима је лик певача имао посебну улогу. Међу њима су се на рођендан поклопиле две певачице: представница Израела Коби Марими и швајцарска Лука Хени, обоје славе рођендане 8. октобра.

Библиографске референце:

• Абрамсон, М.; Мозер, В. ИЛИ. Ј. (1970). „Још рођенданских изненађења“. Америцан Матхематицал Монтхли. 77 (8): 856–858. дои: 10.2307/2317022
• Блум, д. (1973). "Рођендански проблем". Америцан Матхематицал Монтхли. 80 (10): 1141–1142. дои: 10.2307/2318556
• Кламкин, М.; Њуман, Д. (1967). „Продужеци рођенданског изненађења“. Часопис за комбинаторну теорију. 3 (3): 279–282. дои: 10.1016/с0021-9800(67)80075-9