Födelsedagsparadoxen: vad det är och hur man förklarar det

Låt oss föreställa oss att vi är med en grupp människor, till exempel på en släktträff, en primärklassträff eller helt enkelt ta en drink i en bar. Låt oss säga att det är cirka 25 personer.

Mellan bruset och de ytliga samtalen har vi kopplat av lite och vi har börjat fundera på vår saker och plötsligt frågar vi oss själva: vad måste vara sannolikheten för att två personer bland dessa människor fyller år den samma dag?

Födelsedagsparadoxen är en matematisk sanning, tvärtemot vår instinkt, som säger att det behövs väldigt få personer för att det ska finnas en nästan slumpmässig sannolikhet att två av dem har samma födelsedag. Låt oss försöka förstå denna märkliga paradox mer grundligt.

• Relaterad artikel: "Logisk-matematisk intelligens: vad är det och hur kan vi förbättra det?"

Födelsedagsparadoxen

Födelsedagsparadoxen är en matematisk sanning som slår fast att i en grupp på bara 23 personer finns en sannolikhet nära slumpen, närmare bestämt 50,7 %, att minst två av dessa personer har samma födelsedag

. Populariteten för detta matematiska uttalande beror på det överraskande faktum att så få är nödvändiga. människor att ha en ganska säker chans att de kommer att ha matchningar på något så varierande som en födelsedag.

Även om detta matematiska faktum kallas en paradox, är det i strikt mening inte det. Det är snarare en paradox såtillvida att det visar sig vara kuriöst, eftersom det strider mot sunt förnuft. När någon frågas hur många personer de tror att det krävs för att de två ska fylla födelsedag samma dag, tenderar folk att intuitivt ge 183, det vill säga hälften av 365.

Tanken bakom detta värde är att genom att halvera antalet dagar under ett vanligt år erhålls det minimum som krävs för att det ska finnas en sannolikhet nära 50 %.

Dock, det är inte förvånande att så höga värden ges när man försöker svara på denna fråga, eftersom folk ofta missförstår problemet. Födelsedagsparadoxen syftar inte på sannolikheterna som en specifik person fyller år med avseende på en annan i gruppen, men, som vi har kommenterat, är chansen att två personer i gruppen har samma födelsedag dag.

Matematisk förklaring av fenomenet

För att förstå denna överraskande matematiska sanning är det första du ska göra att tänka på att det finns många möjligheter att hitta par som har samma födelsedag.

Vid första anblicken skulle man kunna tro att 23 dagar, det vill säga bandmedlemmarnas 23-årsdag, är för liten bråkdel av det möjliga antalet distinkta dagar, 365 dagar av ett icke-skottår, eller 366 under skottår, som för att förvänta sig upprepningar. Detta tänkande är verkligen korrekt, men bara om vi förväntar oss en upprepning en viss dag. Det vill säga, och som vi redan har kommenterat skulle vi behöva samla många människor så att det skulle finnas en möjlighet till eller mindre nära 50 % av en av medlemmarna i gruppen som fyller år med oss ​​själva, för att sätta en exempel.

Men i födelsedagsparadoxen uppstår eventuella upprepningar. Det vill säga hur många personer som behövs för att två av dessa personer ska ha sin födelsedag samma dag, vare sig den eller de dagar som helst. För att förstå det och visa det matematiskt, Härnäst kommer vi att se mer djupgående om proceduren bakom paradoxen.

• Du kanske är intresserad av: "12 kuriosa om det mänskliga sinnet"

Möjlighet till eventuell matchning

Låt oss föreställa oss att vi bara har två personer i ett rum. Dessa två personer, C1 och C2, kunde bara bilda ett par (C1=C2), med vilket vi bara har ett par där en upprepad födelsedag kan inträffa. Antingen fyller de födelsedag samma dag, eller så har de inte samma födelsedag, det finns inga andra alternativ..

För att ange detta matematiskt har vi följande formel:

(Antal personer x möjliga kombinationer)/2 = möjligheter till möjlig slump.

I det här fallet skulle detta vara:

(2 x 1)/2 = 1 chans på en möjlig match

Vad händer om det är tre istället för två personer? Matchchanser går upp till tre, tack vare det faktum att tre par kan bildas mellan dessa tre personer (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). Matematiskt representerade har vi:

(3 personer X 2 möjliga kombinationer)/2 = 3 chanser till en möjlig match

Med fyra finns det sex möjligheter att de sammanfaller mellan dem:

(4 personer X 3 möjliga kombinationer)/2 = 6 chanser till en möjlig match

Om vi ​​går upp till tio personer har vi många fler möjligheter:

(10 personer X 9 möjliga kombinationer)/2 = 45

Med 23 personer finns det (23×22)/2 = 253 olika par, var och en av dem en kandidat för att deras två medlemmar ska fylla födelsedag samma dag, vilket ger sig själva födelsedagsparadoxen och har fler möjligheter att ha en födelsedag.

sannolikhetsuppskattning

Vi ska beräkna vad som är sannolikheten att en grupp med storlek n av personer två av dem, vad de än är, fyller år samma dag. För det här specifika fallet kommer vi att kassera skottår och tvillingar, förutsatt att det finns 365 födelsedagar som har samma sannolikhet.

Använder Laplaces regel och kombinatorik

Först måste vi beräkna sannolikheten för att n personer har olika födelsedagar. Det vill säga att vi beräknar sannolikheten motsatt vad som står i födelsedagsparadoxen. För detta, Vi måste ta hänsyn till två möjliga händelser när vi överväger beräkningarna.

Händelse A = {två personer firar sina födelsedagar på samma dag} Kompletterande till evenemanget A: A^c = {två personer firar inte sina födelsedagar på samma dag}

Låt oss ta som ett särskilt fall en grupp med fem personer (n=5)

För att beräkna antalet möjliga fall använder vi följande formel:

dagar på året^n

Med tanke på att ett normalt år har 365 dagar är antalet möjliga fall av födelsedagsfirande:

365^5 = 6,478 × 10^12

Den första av de personer vi väljer kan ha fötts, vilket är logiskt att tro, någon av årets 365 dagar. Nästa kan ha fötts under en av de återstående 364 dagarna, och nästa av nästa kan ha fötts under en av de återstående 363 dagarna, och så vidare.

Av detta följer följande beräkning: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6 303 × 10^12, vilket ger som resultatet är antalet fall där det inte finns två personer i den gruppen om 5 som är födda likadana dag.

Genom att tillämpa Laplaces regel skulle vi beräkna:

P (A^c) = gynnsamma fall/möjliga fall = 6,303 / 6,478 = 0,973

Detta innebär att chansen att två personer i gruppen om 5 inte fyller år samma dag är 97,3 %. Med dessa uppgifter kan vi erhålla möjligheten att två personer fyller år samma dag och erhåller komplementvärdet.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Alltså, från detta utvinns att chansen att i en grupp på fem personer, två av dem fyller år samma dag bara är 2,7%.

Genom att förstå detta kan vi ändra storleken på provet. Sannolikheten att minst två personer i en sammankomst av n personer har samma födelsedag kan erhållas med följande formel:

1- ((365x364x363x...(365-n+1))/365^n)

Om n är 23 är sannolikheten att minst två av dessa personer firar år på samma dag 0,51.

Anledningen till att denna specifika urvalsstorlek har blivit så känd är att med n = 23 det finns en jämn sannolikhet att minst två personer firar födelsedagen samma dag.

Om vi ​​ökar till andra värden, till exempel 30 eller 50, har vi högre sannolikheter på 0,71 respektive 0,97, eller vad som är detsamma, 71% och 97%. Med n = 70 är vi nästan garanterade att två av dem kommer att sammanfalla på deras födelsedag, med en sannolikhet på 0,99916 eller 99,9 %

Använder Laplaces regel och produktregeln

Ett annat inte så långsökt sätt att förstå problemet är att ställa det på följande sätt.

Låt oss föreställa oss att 23 personer är tillsammans i ett rum och vi vill räkna ut chanserna att de inte delar födelsedagar.

Anta att det bara finns en person i rummet. Chansen att alla i rummet kommer att ha olika födelsedagar är uppenbarligen 100%, det vill säga sannolikhet 1. I grund och botten är den personen ensam, och eftersom ingen annan är där, sammanfaller inte deras födelsedag med någon annans.

Nu kommer ytterligare en person in, och därför är det två personer i rummet. Oddsen för att hon ska ha en annan födelsedag än den första personen är 364/365, detta är 0,9973 eller 99,73 %.

Ange en tredje. Sannolikheten att hon har en annan födelsedag än de andra två personerna, som har gått in före henne, är 363/365. Oddset på att alla tre har olika födelsedagar är 364/365 gånger 363/365, eller 0,9918.

Så alternativen för 23 personer som har olika födelsedagar är 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, vilket resulterar i 0,493.

Det är med andra ord 49,3 % sannolikhet att ingen av de närvarande fyller år samma dag och därför tvärtom, när vi beräknar komplementet till den procentsatsen har vi en chans på 50,7 % att minst två av dem delar födelsedag

I motsats till födelsedag paradoxen, sannolikheten att någon i ett rum av n person födelsedag samma dag som en specifik person, till exempel oss själva ifall vi är där, ges av följande formel.

1- (364/365)^n

Med n = 23 skulle det ge cirka 0,061 sannolikhet (6%), vilket kräver minst n = 253 för att ge ett värde nära 0,5 eller 50%.

Paradoxen i verkligheten

Det finns flera situationer där vi kan se att denna paradox är uppfylld. Här kommer vi att lägga två verkliga fall.

Den första är den av Spaniens kungar. Räknat från regeringstiden av de katolska monarker i Kastilien och Aragon till den av Felipe VI av Spanien, har vi 20 legitima monarker. Bland dessa kungar finner vi, överraskande nog, två par som sammanfaller på födelsedagar: Carlos II med Carlos IV (11 november) och José I med Juan Carlos I (5 januari). Möjligheten att det bara fanns ett par monarker med samma födelsedag, med hänsyn till att n = 20, är

Ett annat verkligt fall är det av Eurovision Grand Final 2019. I finalen det året, som hölls i Tel Aviv, Israel, deltog 26 länder, varav 24 De skickade antingen solosångare eller grupper där sångarens gestalt fick en speciell roll. Bland dem sammanföll två sångare på en födelsedag: representanten för Israel, Kobi Marimi och den från Schweiz, Luca Hänni, som båda firade sin födelsedag den 8 oktober.

Bibliografiska referenser:

• Abramson, M.; Moser, W. ANTINGEN. J. (1970). "Fler födelsedagsöverraskningar". American Mathematical Monthly. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
• Bloom, d. (1973). "Ett födelsedagsproblem". American Mathematical Monthly. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
• Klamkin, M.; Newman, D. (1967). "Förlängningar av födelsedagsöverraskningen". Journal of Combinatorial Theory. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9