ความขัดแย้งในวันเกิด: มันคืออะไรและจะอธิบายได้อย่างไร

ลองนึกภาพว่าเราอยู่กับคนกลุ่มหนึ่ง เช่น ในงานรวมญาติ งานสังสรรค์ชั้นประถม หรือแค่นั่งดื่มในบาร์ สมมติว่ามีประมาณ 25 คน

ระหว่างเสียงอึกทึกและบทสนทนาที่ฉาบฉวย เราได้ตัดขาดจากกันเล็กน้อยและเริ่มคิดถึงเรื่องของเรา สิ่งต่าง ๆ และทันใดนั้นเราก็ถามตัวเองว่า: อะไรคือความน่าจะเป็นที่คนสองคนมีวันเกิดในกลุ่มคนเหล่านี้ วันเดียวกัน?

ความขัดแย้งในวันเกิดเป็นความจริงทางคณิตศาสตร์ตรงกันข้ามกับสัญชาตญาณของเราซึ่งถือว่ามีคนเพียงไม่กี่คนที่จำเป็นสำหรับความน่าจะเป็นแบบสุ่มที่คนสองคนมีวันเกิดเดียวกัน ลองทำความเข้าใจความขัดแย้งที่แปลกประหลาดนี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้น

• บทความที่เกี่ยวข้อง: "ความฉลาดเชิงตรรกะและคณิตศาสตร์: มันคืออะไรและเราจะปรับปรุงมันได้อย่างไร?"

ความขัดแย้งวันเกิด

ความขัดแย้งในวันเกิดเป็นความจริงทางคณิตศาสตร์ที่ระบุว่าในกลุ่มคนเพียง 23 คน มีความน่าจะเป็นที่ใกล้เคียงกับโอกาส โดยเฉพาะอย่างยิ่ง 50.7% อย่างน้อยสองคนนั้นมีวันเกิดเดียวกัน. ความนิยมของข้อความทางคณิตศาสตร์นี้เกิดจากข้อเท็จจริงที่น่าประหลาดใจว่ามีความจำเป็นน้อยมาก คนที่มีโอกาสค่อนข้างแน่ใจว่าพวกเขาจะมีการแข่งขันในวันเกิดที่แตกต่างกัน

แม้ว่าข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์นี้เรียกว่าความขัดแย้ง แต่ในความหมายที่เข้มงวด มันไม่ใช่

มันค่อนข้างขัดแย้งตราบเท่าที่มันกลายเป็นเรื่องน่าสงสัยเพราะมันค่อนข้างขัดกับสามัญสำนึก เมื่อมีคนถามว่าพวกเขาคิดว่าต้องใช้เวลากี่คนถึงจะมีวันเกิดในวันเดียวกัน คนมักจะให้ 183 ซึ่งก็คือครึ่งหนึ่งของ 365

แนวคิดเบื้องหลังค่านี้คือการลดจำนวนวันลงครึ่งหนึ่งในปีปกติ จะได้ค่าต่ำสุดที่จำเป็นสำหรับความน่าจะเป็นที่ใกล้เคียงกับ 50%

อย่างไรก็ตาม, ไม่น่าแปลกใจที่จะได้รับค่าที่สูงเช่นนี้เมื่อพยายามตอบคำถามนี้เนื่องจากผู้คนมักเข้าใจผิดเกี่ยวกับปัญหา ความขัดแย้งในวันเกิดไม่ได้หมายถึงความน่าจะเป็นที่บุคคลใดบุคคลหนึ่งมีวันเกิดด้วยความเคารพ อีกคนหนึ่งในกลุ่ม แต่อย่างที่เราแสดงความคิดเห็น โอกาสที่คนสองคนในกลุ่มจะมีวันเกิดเดียวกัน วัน.

คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์

เพื่อให้เข้าใจความจริงทางคณิตศาสตร์ที่น่าประหลาดใจนี้ สิ่งแรกที่ต้องทำคือจำไว้ว่ามีความเป็นไปได้มากมายที่จะหาคู่ที่มีวันเกิดเดียวกัน

เมื่อมองแวบแรก ใครๆ ก็คิดว่า 23 วัน ซึ่งก็คือวันเกิดครบรอบ 23 ปีของสมาชิกในวงนั่นเอง เศษเสี้ยวของจำนวนวันที่แตกต่างกันที่เป็นไปได้น้อยเกินไป, 365 วันในปีที่ไม่ใช่ปีอธิกสุรทิน หรือ 366 วันในปีอธิกสุรทิน ราวกับว่าจะเกิดซ้ำ ความคิดนี้ถูกต้องจริง ๆ แต่ถ้าเราคาดว่าจะเกิดซ้ำในวันใดวันหนึ่งเท่านั้น คือตามที่ได้ลงความเห็นไปแล้วว่าคงต้องรวบรวมคนจำนวนมากจึงจะมีความเป็นไปได้อีก หรือใกล้น้อยกว่า 50% ของสมาชิกคนใดคนหนึ่งในกลุ่มที่มีวันเกิดร่วมกับตัวเรา ให้ใส่ a ตัวอย่าง.

อย่างไรก็ตาม ในความขัดแย้งวันเกิด การทำซ้ำใดๆ ก็เกิดขึ้น นั่นคือต้องมีกี่คนที่คนสองคนนั้นจะมีวันเกิดในวันเดียวกันจะเป็นบุคคลหรือวันใดก็ได้ เพื่อทำความเข้าใจและแสดงทางคณิตศาสตร์ ต่อไปเราจะเห็นเบื้องลึกของกระบวนการที่อยู่เบื้องหลังความขัดแย้ง.

• คุณอาจจะสนใจ: "12 เรื่องน่ารู้เกี่ยวกับจิตใจมนุษย์"

ความเป็นไปได้ของการจับคู่ที่เป็นไปได้

ลองนึกภาพว่าห้องเราอยู่กันแค่สองคน คนสองคนนี้ C1 และ C2 สามารถสร้างคู่ได้เท่านั้น (C1=C2) ซึ่งเรามีเพียงคู่เดียวเท่านั้นที่สามารถเกิดวันเกิดซ้ำได้ ไม่ว่าพวกเขาจะมีวันเกิดวันเดียวกันหรือไม่มีวันเกิดเดียวกัน ก็ไม่มีทางเลือกอื่น.

ในการระบุข้อเท็จจริงนี้ในทางคณิตศาสตร์ เรามีสูตรดังต่อไปนี้:

(จำนวนคน x ชุดค่าผสมที่เป็นไปได้)/2 = ความบังเอิญที่เป็นไปได้

ในกรณีนี้จะเป็น:

(2 x 1)/2 = 1 โอกาสในการจับคู่ที่เป็นไปได้

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคนสองคนกลายเป็นสามคนแทน? โอกาสในการจับคู่สูงถึงสามต้องขอบคุณข้อเท็จจริงที่ว่าคนสามคนนี้สามารถสร้างคู่ขึ้นมาได้สามคู่ (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). เรามีตัวแทนทางคณิตศาสตร์:

(3 คน X 2 ชุดค่าผสมที่เป็นไปได้)/2 = 3 โอกาสในการจับคู่ที่เป็นไปได้

ด้วยสี่มีความเป็นไปได้หกประการที่ตรงกันระหว่างพวกเขา:

(4 คน X 3 ชุดค่าผสมที่เป็นไปได้)/2 = 6 โอกาสในการจับคู่ที่เป็นไปได้

ถ้าเราไปกัน 10 คน เราก็มีความเป็นไปได้มากขึ้น:

(10 คน X 9 ชุดค่าผสมที่เป็นไปได้)/2 = 45

ด้วย 23 คน มี (23×22)/2 = 253 คู่ที่แตกต่างกันแต่ละคนเป็นผู้ท้าชิงสมาชิกสองคนที่มีวันเกิดในวันเดียวกัน ทำให้ตัวเองเกิดความขัดแย้งในวันเกิดและมีความเป็นไปได้มากขึ้นที่จะมีวันเกิดโดยบังเอิญ

การประมาณความน่าจะเป็น

เราจะคำนวณความน่าจะเป็นที่กลุ่มที่มีขนาด n คน 2 คนเป็นเท่าใดไม่ว่าจะเกิดวันใดก็เกิดวันเดียวกัน สำหรับกรณีเฉพาะนี้ เราจะละทิ้งปีอธิกสุรทินและฝาแฝด โดยสมมติว่ามีวันเกิด 365 วันเกิดที่มีความน่าจะเป็นเท่ากัน

โดยใช้กฎของ Laplace และ combinatorics

อันดับแรก เราต้องคำนวณความน่าจะเป็นที่คน n คนจะมีวันเกิดต่างกัน นั่นคือเราคำนวณความน่าจะเป็นตรงข้ามกับที่ระบุไว้ในวันเกิดที่ขัดแย้งกัน สำหรับสิ่งนี้, เราต้องคำนึงถึงเหตุการณ์ที่เป็นไปได้สองเหตุการณ์เมื่อพิจารณาการคำนวณ.

เหตุการณ์ A = {คนสองคนฉลองวันเกิดในวันเดียวกัน} เสริมกับกิจกรรม A: A^c = {คนสองคนไม่ได้ฉลองวันเกิดในวันเดียวกัน}

สมมติว่าเป็นกลุ่มที่มีห้าคนเป็นกรณีพิเศษ (n=5)

ในการคำนวณจำนวนกรณีที่เป็นไปได้ เราใช้สูตรต่อไปนี้:

วันในหนึ่งปี^n

เมื่อพิจารณาว่าปีปกติมี 365 วัน จำนวนกรณีที่เป็นไปได้ของการฉลองวันเกิดคือ:

365^5 = 6,478 × 10^12

คนกลุ่มแรกที่เราเลือกอาจถือกำเนิดขึ้นตามหลักการคิด ใน 365 วันใดก็ได้ของปี คนต่อไปอาจจะเกิดในอีก 364 วันที่เหลือและชาติหน้าอาจจะเกิดในวันใดวันหนึ่งใน 363 วันที่เหลือเป็นต้น.

จากนี้เป็นไปตามการคำนวณต่อไปนี้: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6,303 × 10^12 ซึ่งจะให้เป็น ผลลัพธ์คือจำนวนกรณีที่ไม่มีคนสองคนในกลุ่ม 5 คนที่เกิดเหมือนกัน วัน.

เมื่อใช้กฎของ Laplace เราจะคำนวณ:

P (A^c) = กรณีที่เป็นประโยชน์/กรณีที่เป็นไปได้ = 6.303 / 6.478 = 0.973

นี่หมายความว่า โอกาสที่คนสองคนในกลุ่ม 5 คนจะไม่มีวันเกิดวันเดียวกันคือ 97.3%. ด้วยข้อมูลนี้ เราสามารถทราบความเป็นไปได้ที่คนสองคนมีวันเกิดในวันเดียวกัน โดยได้รับมูลค่าที่เกื้อกูลกัน

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0.973 = 0.027

จากนี้จึงสรุปได้ว่าโอกาสที่กลุ่มคน 5 คนจะมีวันเกิดในวันเดียวกัน 2 คนมีเพียง 2.7% เท่านั้น

เมื่อเข้าใจสิ่งนี้แล้ว เราสามารถเปลี่ยนขนาดของตัวอย่างได้. ความน่าจะเป็นที่คนอย่างน้อยสองคนในกลุ่มที่มีคน n คนมีวันเกิดเดียวกันสามารถหาได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

ในกรณีที่ n เป็น 23 ความน่าจะเป็นที่คนอย่างน้อยสองคนฉลองปีในวันเดียวกันคือ 0.51

สาเหตุที่ขนาดตัวอย่างเฉพาะนี้โด่งดังมากก็เพราะ n = 23 มีความเป็นไปได้ด้วยซ้ำที่คนอย่างน้อยสองคนจะฉลองวันเกิดในวันเดียวกัน.

หากเราเพิ่มเป็นค่าอื่น เช่น 30 หรือ 50 เราจะมีความน่าจะเป็นสูงขึ้นเป็น 0.71 และ 0.97 ตามลำดับ หรือเท่ากับ 71% และ 97% ด้วย n = 70 เราเกือบจะรับประกันได้ว่าสองคนนั้นจะตรงกับวันเกิดของพวกเขาด้วยความน่าจะเป็น 0.99916 หรือ 99.9%

โดยใช้กฎของ Laplace และกฎผลคูณ

อีกวิธีหนึ่งในการทำความเข้าใจปัญหาคือการวางปัญหาดังต่อไปนี้.

สมมติว่ามีคน 23 คนอยู่ในห้องเดียวกันและเราต้องการคำนวณโอกาสที่พวกเขาจะไม่มีวันเกิดร่วมกัน

สมมติว่ามีคนเดียวในห้อง โอกาสที่ทุกคนในห้องจะมีวันเกิดต่างกันคือ 100% อย่างเห็นได้ชัด นั่นคือ ความน่าจะเป็น 1 โดยพื้นฐานแล้วบุคคลนั้นอยู่คนเดียวและเนื่องจากไม่มีใครอยู่ที่นั่น วันเกิดของพวกเขาจึงไม่ตรงกับวันเกิดของคนอื่น

ตอนนี้มีอีกคนเดินเข้ามาและในห้องจึงมีสองคน โอกาสที่เธอจะมีวันเกิดต่างจากคนแรกคือ 364/365นี่คือ 0.9973 หรือ 99.73%

ป้อนหนึ่งในสาม ความน่าจะเป็นที่เธอมีวันเกิดแตกต่างจากอีกสองคนที่เข้ามาก่อนเธอคือ 363/365 อัตราต่อรองที่ทั้งสามคนมีวันเกิดต่างกันคือ 364/365 คูณ 363/365 หรือ 0.9918

ดังนั้น ตัวเลือกสำหรับคน 23 คนที่มีวันเกิดต่างกันคือ 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365 ผลลัพธ์คือ 0.493

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือมีความเป็นไปได้ 49.3% ที่ไม่มีของขวัญใดที่มีวันเกิดในวันเดียวกัน และในทางกลับกัน การคำนวณส่วนเสริมของเปอร์เซ็นต์นั้นเรามีว่ามีโอกาส 50.7% ที่อย่างน้อยสองคนจะมีส่วนแบ่ง วันเกิด

ตรงกันข้ามกับความขัดแย้งวันเกิด ความน่าจะเป็นที่ทุกคนในห้อง n คน เกิดวันเดียวกับบุคคลใดบุคคลหนึ่ง เช่น ตัวเราเอง เผื่ออยู่ที่นั่น กำหนดโดยสูตรต่อไปนี้.

1- (364/365)^น

ด้วย n = 23 จะให้ค่าความน่าจะเป็นประมาณ 0.061 (6%) โดยต้องมีอย่างน้อย n = 253 เพื่อให้ค่าใกล้เคียงกับ 0.5 หรือ 50%

ความขัดแย้งในความเป็นจริง

มีหลายสถานการณ์ที่เราเห็นว่าความขัดแย้งนี้เกิดขึ้นจริง ที่นี่เราจะใส่กรณีจริงสองกรณี

ประการแรกคือกษัตริย์แห่งสเปน. นับจากรัชสมัยของกษัตริย์คาทอลิกแห่งคาสตีลและอารากอนจนถึงกษัตริย์เฟลิเปที่ 6 แห่งสเปน เรามีพระมหากษัตริย์ที่ชอบด้วยกฎหมาย 20 พระองค์ ในบรรดากษัตริย์เหล่านี้ เราพบคู่รักสองคู่ที่ตรงกับวันเกิด: Carlos II กับ Carlos IV (11 พฤศจิกายน) และ José I กับ Juan Carlos I (5 มกราคม) ความเป็นไปได้ที่มีพระมหากษัตริย์ที่มีพระประสูติกาลเดียวกันเพียงคู่เดียว โดยพิจารณาว่า n = 20 คือ

อีกกรณีหนึ่งคือกรณีของยูโรวิชันแกรนด์ไฟนอลปี 2019. ในรอบสุดท้ายของปีนั้นจัดขึ้นที่เมืองเทลอาวีฟ ประเทศอิสราเอล มี 26 ประเทศเข้าร่วม โดย 24 ประเทศเข้าร่วม พวกเขาส่งนักร้องเดี่ยวหรือกลุ่มที่ร่างของนักร้องมีบทบาทพิเศษ ในจำนวนนี้มีนักร้องสองคนที่ตรงกับวันเกิด: ตัวแทนของอิสราเอล Kobi Marimi และอีกหนึ่งคนจากสวิตเซอร์แลนด์ Luca Hänni ทั้งคู่ฉลองวันเกิดในวันที่ 8 ตุลาคม

การอ้างอิงบรรณานุกรม:

• อับรามสัน ม.; โมเซอร์, ดับเบิลยู. ทั้ง. เจ (1970). "เซอร์ไพรส์วันเกิดเพิ่มเติม". คณิตศาสตร์อเมริกันรายเดือน 77 (8): 856–858. ดอย: 10.2307/2317022
• บลูม, ง. (1973). "ปัญหาวันเกิด". คณิตศาสตร์อเมริกันรายเดือน 80 (10): 1141–1142. ดอย: 10.2307/2318556
• Klamkin, ม.; นิวแมน, ดี. (1967). "นามสกุลเซอร์ไพรส์วันเกิด". วารสารทฤษฎีเชิงผสม. 3 (3): 279–282. ดอย: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9