Парадокс дня народження: що це таке і як це пояснити
Уявімо, що ми з групою людей, наприклад, на сімейній зустрічі, зустрічі початкових класів або просто випиваємо в барі. Припустимо, близько 25 осіб.
Між шумом і поверхневими розмовами ми трохи відключилися і почали думати про наші речі, і раптом ми запитуємо себе: яка ймовірність того, що серед цих людей двоє людей мають дні народження того ж дня?
Парадокс дня народження - це математична істина, всупереч нашому інстинкту, який вважає, що потрібно дуже мало людей, щоб існувала майже випадкова ймовірність того, що двоє з них мають однаковий день народження. Спробуємо глибше розібратися в цьому цікавому парадоксі.
- Пов'язана стаття: "Логіко-математичний інтелект: що це таке і як його покращити?"
Парадокс дня народження
Парадокс дня народження — це математична істина, яка встановлює, що в групі лише з 23 людей існує ймовірність, близька до випадковості, а саме 50,7 %. що принаймні двоє з цих людей мають однаковий день народження. Популярність цього математичного твердження пояснюється дивовижним фактом, що необхідно так мало. люди, щоб мати досить впевнений шанс, що вони знайдуть матчі на щось таке різноманітне, як день народження.
Хоча цей математичний факт називають парадоксом, у строгому сенсі це не так. Це скоріше парадокс, оскільки виявляється курйозним, оскільки це цілком суперечить здоровому глузду. Коли когось запитують, скільки людей, на їхню думку, потрібно, щоб у них обоє мали день народження в один день, люди схильні інтуїтивно давати 183, тобто половину з 365.
Ідея, що стоїть за цим значенням, полягає в тому, що, зменшивши кількість днів у звичайному році вдвічі, виходить мінімум, необхідний для того, щоб імовірність була близькою до 50%.
однак, не дивно, що при спробі відповісти на це питання даються такі високі значення, оскільки люди часто неправильно розуміють проблему. Парадокс дня народження не стосується ймовірностей того, що конкретна особа має день народження інший у групі, але, як ми прокоментували, ймовірність того, що будь-які двоє людей у групі мають однаковий день народження день.
Математичне пояснення явища
Щоб зрозуміти цю дивовижну математичну істину, перше, що потрібно зробити, це мати на увазі, що існує багато можливостей знайти пари, які мають однаковий день народження.
На перший погляд, можна подумати, що 23 дні, тобто 23-річчя учасників гурту – це занадто мала частка можливої кількості окремих днів, 365 днів у невисокосному році, або 366 у високосному році, ніби очікувати повторень. Таке мислення справді точне, але лише якщо ми очікуємо повторення в певний день. Тобто, як ми вже коментували, нам потрібно було б зібрати багато людей, щоб була ще одна можливість або менше близько 50% одного з членів групи, який святкує день народження з нами, щоб поставити приклад.
Проте в парадоксі дня народження будь-які повтори виникають. Тобто, скільки людей потрібно, щоб двоє з цих людей мали свій день народження в один і той же день, будь-яка особа чи дні. Щоб зрозуміти це і показати це математично, Далі ми детальніше розглянемо процедуру, що стоїть за парадоксом.
- Вас може зацікавити: "12 курйозів про людський розум"
Можливість можливого збігу
Уявімо, що в кімнаті лише двоє людей. Ці дві людини, C1 і C2, можуть утворювати лише пару (C1=C2), з якою ми маємо лише одну пару, у якій може відбутися повторний день народження. Або вони мають день народження в один день, або вони не мають день народження, інших альтернатив немає..
Щоб сформулювати цей факт математично, ми маємо наступну формулу:
(Кількість людей х можливі комбінації)/2 = можливості можливого збігу.
У цьому випадку це буде:
(2 x 1)/2 = 1 шанс можливого збігу
Що станеться, якщо замість двох людей буде троє? Шанси збігу збільшуються до трьох, завдяки тому, що між цими трьома людьми можна сформувати три пари (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). У математичному представленні ми маємо:
(3 особи X 2 можливі комбінації)/2 = 3 шанси можливого збігу
З чотирма є шість можливостей, що вони збігаються між собою:
(4 особи X 3 можливі комбінації)/2 = 6 шансів можливого збігу
Якщо ми підійдемо до десяти людей, у нас буде набагато більше можливостей:
(10 осіб X 9 можливих комбінацій)/2 = 45
З 23 осіб є (23×22)/2 = 253 різні пари, кожен з них є кандидатом на те, щоб їхні два учасники святкували дні народження в один день, створюючи собі парадокс дня народження та маючи більше можливостей збігу днів народження.
оцінка ймовірності
Ми обчислимо ймовірність того, що група розміром n із людей двоє, ким би вони не були, у них день народження в один день. Для цього конкретного випадку ми збираємося відкинути високосні роки та близнюків, припускаючи, що існує 365 днів народження з однаковою ймовірністю.
Використання правила Лапласа та комбінаторики
Спочатку ми повинні обчислити ймовірність того, що n людей мають різні дні народження. Тобто ми обчислюємо ймовірність, протилежну тій, що стверджується в парадоксі дня народження. Для цього, Розглядаючи розрахунки, ми повинні враховувати дві можливі події.
Подія A = {двоє людей святкують свої дні народження в один день} Додатково до події A: A^c = {двоє людей не святкують свої дні народження в один день}
Візьмемо як окремий випадок групу з п’яти осіб (n=5)
Для розрахунку кількості можливих випадків скористаємося такою формулою:
дні року^п
Враховуючи, що звичайний рік складається з 365 днів, кількість можливих випадків святкування дня народження становить:
365^5 = 6,478 × 10^12
Перші з людей, яких ми обираємо, могли народитися, як логічно думати, у будь-який із 365 днів року. Наступний міг народитися в один із 364 днів, що залишилися, а наступний із наступних міг народитися в один із решти 363 днів і так далі.
З цього випливає такий розрахунок: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6303 × 10^12, що дає як результат — це кількість випадків, коли в цій групі з 5 немає двох людей, які народилися однаковими день.
Застосовуючи правило Лапласа, ми б обчислили:
P (A^c) = сприятливі випадки/можливі випадки = 6,303 / 6,478 = 0,973
Це означає що ймовірність того, що у двох людей у групі з 5 осіб не буде день народження в один день, становить 97,3%. За допомогою цих даних ми можемо отримати можливість того, що дві людини відзначають день народження в один день, отримуючи додаткове значення.
p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027
Таким чином, з цього виходить, що ймовірність того, що в групі з п’яти осіб у двох з них день народження в один день, становить лише 2,7%.
Розуміючи це, ми можемо змінити розмір вибірки. Імовірність того, що принаймні дві людини в групі з n людей мають однаковий день народження, можна отримати за такою формулою:
1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)
Якщо n дорівнює 23, ймовірність того, що принаймні двоє з цих людей святкують роки в один день, дорівнює 0,51.
Причина, чому цей розмір вибірки став таким відомим, полягає в тому, що з n = 23 існує рівна ймовірність того, що принаймні дві людини святкують день народження в один день.
Якщо ми збільшимо до інших значень, наприклад, 30 або 50, ми матимемо вищі ймовірності 0,71 і 0,97 відповідно, або, що те саме, 71% і 97%. З n = 70 ми майже гарантуємо, що два з них збігаються в день народження з імовірністю 0,99916 або 99,9%
Використання правила Лапласа та правила добутку
Інший не такий надуманий спосіб розуміння проблеми полягає в наступній постановці.
Уявімо, що 23 людини разом у кімнаті, і ми хочемо підрахувати ймовірність того, що вони не мають спільних днів народження.
Припустимо, що в кімнаті лише одна людина. Ймовірність того, що всі в кімнаті будуть мати різні дні народження, очевидно, дорівнює 100%, тобто ймовірність 1. По суті, ця людина одна, а оскільки більше нікого немає, її день народження не збігається ні з ким іншим.
Тепер заходить інша людина, отже, у кімнаті двоє людей. Імовірність того, що у неї буде інший день народження, ніж у першої особи, становить 364/365, це 0,9973 або 99,73%.
Введіть третій. Ймовірність того, що у неї інший день народження, ніж у двох інших людей, які увійшли до неї, становить 363/365. Імовірність того, що всі троє мають різні дні народження, дорівнює 364/365 помножити на 363/365, або 0,9918.
Отже, варіанти для 23 людей, які мають різні дні народження: 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... х 343/365, що дає 0,493.
Іншими словами, з ймовірністю 49,3 %, що ні в кого з присутніх не буде дня народження в цей же день, і, отже, навпаки, обчислюючи додатковий цей відсоток, ми маємо, що існує 50,7% ймовірність того, що принаймні два з них поділяють день народження
На відміну від парадоксу дня народження, ймовірність того, що будь-хто в кімнаті з n осіб день народження в той самий день, що й певна особа, наприклад, ми самі, якщо ми там, визначається такою формулою.
1- (364/365)^п
З n = 23 це дасть близько 0,061 ймовірності (6%), вимагаючи принаймні n = 253, щоб отримати значення, близьке до 0,5 або 50%.
Парадокс в реальності
Існує кілька ситуацій, у яких ми можемо побачити, що цей парадокс виконується. Тут ми розглянемо два реальних випадки.
Перший – королів Іспанії. Від правління католицьких монархів Кастилії та Арагону до правління Феліпе VI Іспанії ми маємо 20 законних монархів. Серед цих королів ми знаходимо, на диво, дві пари, у яких збігаються дні народження: Карлос II і Карлос IV (11 листопада) і Хосе I з Хуаном Карлосом I (5 січня). Можливість того, що існувала лише одна пара монархів з однаковим днем народження, враховуючи, що n = 20, є
Ще один реальний випадок – гранд-фінал Євробачення-2019. У фіналі того року, який відбувся в Тель-Авіві, Ізраїль, брали участь 26 країн, 24 з яких Посилали або сольних співаків, або групи, де постать співака відігравала особливу роль. Серед них у двох співаків збігся день народження: представник Ізраїлю Кобі Марімі та швейцарець Лука Ханні, обидва святкують день народження 8 жовтня.
Бібліографічні посилання:
- Абрамсон, М.; Мозер, В. АБО. Дж. (1970). «Більше сюрпризів на день народження». Американський математичний щомісячник. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
- Блюм, д. (1973). «Проблема дня народження». Американський математичний щомісячник. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
- Кламкін, М.; Ньюман, Д. (1967). «Розширення сюрпризу до дня народження». Журнал комбінаторної теорії. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9