Que sont les nombres complexes CONJUGUÉS avec des EXEMPLES et des EXERCICES résolus ?

Dans cette nouvelle leçon d'un Enseignant, nous allons apprendre ce que nombres complexes conjugués avec des exemples ainsi vous pouvez savoir comment nous pouvons obtenir le conjugué de nombres complexes ou imaginaires. Tout d'abord, nous verrons quelles étapes devons-nous suivre pour extraire le conjugué d'un nombre complexe. Ensuite, nous ferons de même, mais au lieu d'un seul nombre imaginaire, avec des opérations de nombres imaginaires. Dans chacune de ces sections, nous verrons exemples et, enfin, vous pouvez résoudre un exercer et vérifiez que vous avez bien fait avec le solutions que vous trouverez à la fin.

Pour obtenir le conjugué d'un nombre complexe, on placera ce nombre entre une paire de barres verticales de chaque côté (||... ||) et il faudra suivre scrupuleusement les étapes suivantes :

1. Ordonner le nombre: plaçons toujours la partie réelle au début et la partie imaginaire à la fin.
2. Changer de signe du centre: nous allons voir quel signe nous avons entre la partie réelle et la partie imaginaire et nous allons le changer, de sorte que si nous avions un +, nous aurons maintenant un - et vice versa.
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Exemples d'opération avec des nombres complexes conjugués

Il est important de noter que nombres complexes ils sont généralement représentés en utilisant la lettre Z, donc par exemple nous pourrions avoir Z = 8 - 7i. Dans ce cas, s'ils nous demandaient de calculer le conjugué, ils nous diraient || 8 - 7i || et nous devons suivre les étapes établies :

1. On commande: dans ce cas, on a déjà la partie réelle au début et la partie imaginaire à la fin, donc on laisserait la même chose: Z = 8 - 7i.
2. On change le signe du centre: 8 + 7i.

On obtient ainsi le conjugué de Z qui, dans notre exemple, vaut 8 + 7i.

Voyons voir autre exemple d'autre chose. Si le nombre complexe qu'ils nous donnent est Z = - 32i - 12, les étapes seront comme ceci :

1. On commande: dans cet exemple il faut commander, puisque la partie imaginaire est devant, on va donc la changer en Z = - 12 - 32i.
2. Nous pouvons maintenant changer le signe du centre. Comme nous avions un moins, nous allons le changer en plus: - 12 + 32i.

Nous avons déjà vu que l'obtention de nombres conjugués complexes est quelque chose d'assez simple, puisqu'il n'y a que deux étapes à suivre. Maintenant, nous allons ajouter une petite difficulté: au lieu d'avoir un seul nombre complexe, nous aurons une paire qui sera additionnée ou soustraite. Les étapes dans ce cas seraient les suivantes :

1. Endroitet groupe la partie réelle d'une part et la partie imaginaire d'autre part.
2. Ordonner, comme nous l'avons fait dans la section précédente.
3. Changer de signe, pareillement.

Exemple 1

Regardons un exemple. S'ils nous demandent de faire le conjugué de la somme entre Z¹ = 4i + 5 et Z² = - 7 - 3i :

1. Nous allons placer ce qu'ils nous demandent, c'est-à-dire: (4i + 5) + (- 7 - 3i). Si nous regroupons la partie réelle, nous nous retrouvons avec + 5 - 7, ce qui est égal à -2. Si nous groupons la partie imaginaire, nous nous retrouvons avec 4i - 3i, qui est égal à i.
2. On commande en écrivant d'abord la partie réelle puis la partie imaginaire: - 2 + i.
3. On change le signe: - 2 - i.

Exemple 2

Regardons un exemple dans lequel, au lieu d'avoir deux nombres complexes additionnés, nous les soustrayons. En ce sens, il est très important que vous sachiez clairement comment les nombres positifs et négatifs sont ajoutés ou soustraits. Vous pouvez consulter l'article Que sont les nombres entiers. Ainsi, s'ils nous demandent le conjugué de la soustraction entre Z¹ = 2 - 3i et Z² = 6 - 9i :

1. Nous plaçons: (2 - 3i) - (6 - 9i). Chaque fois que nous avons un signe négatif devant une parenthèse, nous devons changer le signe de tout ce qui se trouve à l'intérieur de la parenthèse, de sorte que nous aurons (2 - 3i) + (- 6 + 9i). On peut maintenant regrouper la partie réelle, qui restera 2 - 6, c'est-à-dire -4; et la partie imaginaire, qui restera - 3i + 9i, qui restera à 6i.
2. Nous commandons: - 4 + 6i.
3. On change le signe: - 4 - 6i.

Exemple 3

S'ils nous demandent de conjuguer un nombre complexe puis de soustraire ou d'ajouter un autre nombre complexe, nous suivrons les étapes pour le d'abord et ensuite on regroupera la partie réelle du résultat avec celle du deuxième nombre complexe d'une part, et la partie imaginaire d'autre part autre. Vous le verrez plus clairement avec l'exemple suivant: obtenir le conjugué de Z¹ = 20i - 7 puis additionner le nombre complexe Z² = 42 + 7i.

1. On calcule le conjugué de Z¹, ce qui nous donnerait - 7 - 20i.
2. On ajoute Z²: (- 7 - 20i) + (42 + 7i) = 35 - 13i.

Pour terminer cette leçon, nous allons vous laisser 4 exercices sur les nombres conjugués complexes qui vous permettront de tester vos connaissances. Dans la section suivante, vous trouverez les solutions de l'exercice afin que vous puissiez vérifier vos résultats:

1. Calculer le conjugué de 86i - 6
2. Trouver le conjugué de la somme entre 67 + 7i et - 5 + 2i
3. Trouvez le conjugué de la soustraction entre 5i - 8 et 9i + 2.
4. Trouvez le conjugué de 12i - 3 et soustrayez-en 8 + 2i.