Classification des nombres réels

Quels sont les vrais nombres ? C'est l'ensemble des nombres qui incluent les nombres naturels, les nombres entiers, les nombres rationnels et les nombres irrationnels. Tout au long de cet article, nous verrons en quoi chacun d'eux consiste. D'autre part, les nombres réels sont représentés par la lettre "R" (ℜ).

Dans cet article, nous connaîtrons la classification des nombres réels, formée par les différents types de nombres mentionnés au début. Nous verrons quelles sont ses caractéristiques fondamentales, ainsi que des exemples. Enfin, nous parlerons de l'importance des mathématiques, de leur signification et de leurs avantages.

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Quels sont les vrais nombres ?

Les nombres réels peuvent être représentés sur une droite numérique, comprenant ceci les nombres rationnels et irrationnels.

C'est-à-dire que la classification des nombres réels comprend des nombres positifs et négatifs, 0 et des nombres qui ne sont pas peuvent être exprimés par des fractions de deux nombres entiers et qui ont des nombres non nuls comme dénominateurs (c'est-à-dire qu'ils ne sont pas 0). Plus loin nous préciserons à quel type de nombre correspond chacune de ces définitions.

Quelque chose qui est également dit à propos des nombres réels, c'est qu'il s'agit d'un sous-ensemble de nombres complexes ou imaginaires (ceux-ci sont représentés par la lettre "i").

Classification des nombres réels

Bref, et pour le dire de manière plus compréhensible, les nombres réels sont pratiquement la majorité des nombres que nous traitons au quotidien et au-delà (quand on étudie les mathématiques, surtout à un niveau plus avancé).

Exemples de nombres réels: 5, 7, 19, -9, -65, -90. √6, √9, √10, le nombre pi (π), etc. Cependant, cette classification, comme nous l'avons déjà dit, est divisée en: nombres naturels, entiers, nombres rationnels et nombres irrationnels. Qu'est-ce qui caractérise chacun de ces nombres? Voyons cela en détail.

1. Nombres naturels

Comme nous l'avons vu, dans les nombres réels, nous trouvons différents types de nombres. Dans le cas des nombres naturels, ce sont les nombres que nous utilisons pour compter (par exemple: j'ai 5 pièces en main). C'est-à-dire: les 1, 2, 3, 4, 5, 6... Les nombres naturels sont toujours des entiers (c'est-à-dire qu'un nombre naturel ne peut pas être "3,56", par exemple).

Les nombres naturels sont exprimés par la lettre manuscrite "N". C'est un sous-ensemble des nombres entiers.

Selon la définition, nous constatons que les nombres naturels commencent soit à partir de 0, soit à partir de 1. Ces types de nombres sont utilisés comme ordinaux (par exemple je suis le deuxième) ou comme cardinaux (j'ai 2 pantalons).

A partir des nombres naturels, d'autres types de nombres sont « construits » (ils sont la « base » de départ): entiers, rationnels, réels... Certaines de ses propriétés sont: addition, soustraction, division et multiplication; c'est-à-dire que vous pouvez effectuer ces opérations mathématiques avec eux.

2. Nombres entiers

Les autres nombres qui font partie de la classification des nombres réels sont des nombres entiers, qui sont représentés par "Z" (Z).

Ils comprennent: 0, les nombres naturels et les nombres naturels avec un signe négatif (0, 1, 2, 3, 4, -1, -2, -3, -4…). Les nombres entiers sont un sous-ensemble de nombres rationnels.

Ainsi, ce sont ces nombres écrits sans fraction, c'est-à-dire "sous une forme entière". Ils peuvent être positifs ou négatifs (par exemple: 5, 8, -56, -90, etc.). En revanche, les nombres qui incluent des décimales (comme "8,90") ou qui résultent de certaines racines carrées (par exemple √2), ne sont pas des entiers.

Les nombres entiers incluent également 0. En fait, les nombres entiers font partie des nombres naturels (ils sont un petit groupe de ceux-ci).

3. Nombres rationnels

Les nombres suivants dans la classification des nombres réels sont des nombres rationnels. Dans ce cas, les nombres rationnels sont n'importe quel nombre qui peut être exprimé comme le composant de deux nombres entiers, ou comme leur fraction.

Par exemple 7/9 (il est généralement exprimé par "p/q", où "p" est le numérateur et "q" est le dénominateur). Puisque le résultat de ces fractions peut être un nombre entier, les nombres entiers sont des nombres rationnels.

L'ensemble de ce type de nombres, les nombres rationnels, est exprimé par un "Q" (lettre majuscule). Ainsi, les nombres décimaux qui sont des nombres rationnels sont de trois types :

• Décimales exactes: telles que "3,45".
• Décimales répétitives pures: telles que "5,161616 ..." (puisque 16 est répété indéfiniment).
• Décimales répétées mixtes: telles que « 6 788888… (le 8 est répété indéfiniment).

Le fait que les nombres rationnels fassent partie de la classification des nombres réels, implique qu'ils sont un sous-ensemble de ce type de nombres.

4. Nombres irrationnels

Enfin, dans la classification des nombres réels on retrouve aussi les nombres irrationnels. Les nombres irrationnels sont représentés par: "R-Q", ce qui signifie: "l'ensemble des réels moins l'ensemble des rationnels".

Ces types de nombres sont tous ces nombres réels qui ne sont pas rationnels. Ainsi, ceux-ci ne peuvent pas être exprimés en fractions. Ce sont des nombres qui ont des décimales infinies et qui ne sont pas périodiques.

Au sein des nombres irrationnels, nous pouvons trouver le nombre pi (exprimé par π), qui consiste en la relation entre la longueur d'un cercle et son diamètre. On en trouve aussi d'autres, comme: le nombre d'Euler (e), le nombre d'or (φ), les racines de nombres premiers (par exemple √2, √3, √5, √7…), etc.

Comme les précédentes, puisqu'elle fait partie de la classification des nombres réels, elle est un sous-ensemble de ces dernières.

Le sens des nombres et des mathématiques

A quoi servent les mathématiques et le concept des nombres ? A quoi pouvons-nous utiliser les mathématiques? Sans aller plus loin, dans notre quotidien, nous utilisons constamment les mathématiques: pour calculer les changements, payer, calculer des dépenses, calculer des temps (de trajets par exemple), comparer des horaires, etc.

Logiquement, au-delà du jour, les mathématiques et les nombres ont des applications infinies, notamment dans le domaine de l'ingénierie, de l'informatique, des nouvelles technologies, etc. À partir d'eux, nous pouvons fabriquer des produits, calculer des données qui nous intéressent, etc.

D'autre part, au-delà des sciences mathématiques, il existe d'autres sciences qui sont en fait des mathématiques appliquées, telles que: la physique, l'astronomie et la chimie. D'autres sciences ou carrières importantes telles que la médecine ou la biologie sont également "trempées" dans les mathématiques.

Donc, vous pouvez pratiquement dire que... Nous vivons parmi les nombres! Il y aura des gens qui les utiliseront pour travailler, et d'autres pour effectuer des calculs plus simples de leur quotidien.

Structurer l'esprit

D'autre part, les nombres et les mathématiques structurent l'esprit; Ils nous permettent de créer des "tiroirs" mentaux où nous pouvons organiser et incorporer des informations. Donc en fait les mathématiques servent non seulement à "ajouter ou soustraire", mais aussi à compartimenter notre cerveau et nos fonctions mentales.

Enfin, l'avantage de comprendre les différents types de nombres, comme en l'occurrence ceux inclus dans le classification des nombres réels, nous aidera à enrichir notre raisonnement abstrait, au-delà de la matematiques.

Références bibliographiques:

• Coriat, M. et Scaglia, S. (2000). Représentation de nombres réels sur la ligne. Enseignement des sciences, 18 (1): 25-34.

• Romero, I. (1995). L'introduction du nombre réel dans l'enseignement secondaire. Thèse de doctorat Grenade: Département de didactique des mathématiques. Université de Grenade.

• Skemp, R.R. (1993). Psychologie de l'apprentissage des mathématiques. Morata, 3e éd. Madrid.