Rođendanski paradoks: što je to i kako ga objasniti

Zamislimo da smo s grupom ljudi, na primjer, na obiteljskom okupljanju, osnovnoškolskom okupljanju ili jednostavno na piću u baru. Recimo da ima oko 25 ljudi.

Između buke i površnih razgovora, malo smo se odvojili i počeli razmišljati o našim stvari i, odjednom, pitamo se: kolika mora biti vjerojatnost da među tim ljudima dvoje ljudi ima rođendane isti dan?

Paradoks rođendana je matematička istina, suprotno našem instinktu, koji smatra da je potrebno vrlo malo ljudi da postoji gotovo slučajna vjerojatnost da dvoje od njih imaju isti rođendan. Pokušajmo detaljnije razumjeti ovaj neobični paradoks.

• Povezani članak: "Logičko-matematička inteligencija: što je to i kako je možemo poboljšati?"

Rođendanski paradoks

Paradoks rođendana je matematička istina koja utvrđuje da u skupini od samo 23 osobe postoji vjerojatnost bliska slučaju, točnije 50,7%, da barem dvoje od tih ljudi imaju isti rođendan. Popularnost ove matematičke tvrdnje je zbog iznenađujuće činjenice da je tako malo potrebno. ljudi imaju prilično sigurnu šansu da će imati parove na nešto tako raznoliko kao što je rođendan.

Iako se ova matematička činjenica naziva paradoksom, u strogom smislu to nije. To je prilično paradoks utoliko što ispada zanimljivo, jer je to sasvim suprotno zdravom razumu. Kada nekoga pitaju koliko ljudi misli da je potrebno da njih dvoje imaju rođendan na isti dan, ljudi intuitivno daju 183, odnosno polovicu od 365.

Zamisao koja stoji iza ove vrijednosti je da se prepolovljenjem broja dana u običnoj godini dobiva minimum potreban da postoji vjerojatnost blizu 50%.

Međutim, nije iznenađujuće da se daju tako visoke vrijednosti kada se pokušava odgovoriti na ovo pitanje, jer ljudi često pogrešno shvaćaju problem. Paradoks rođendana ne odnosi se na vjerojatnosti da određena osoba ima rođendan s obzirom na to drugi u grupi, ali, kao što smo komentirali, šanse da bilo koje dvoje ljudi u grupi imaju isti rođendan dan.

Matematičko objašnjenje fenomena

Da bismo razumjeli ovu iznenađujuću matematičku istinu, prvo što treba učiniti je imati na umu da postoje mnoge mogućnosti da se pronađu parovi koji imaju isti rođendan.

Na prvi pogled čovjek bi pomislio da je 23 dana, odnosno 23. rođendan članova benda premali dio mogućeg broja različitih dana, 365 dana neprestupne godine, odnosno 366 u prijestupnoj godini, kao da se očekuju ponavljanja. Ovo razmišljanje je doista točno, ali samo ako očekujemo ponavljanje na određeni dan. Naime, a kao što smo već komentirali, trebalo bi skupiti puno ljudi kako bi postojala još jedna mogućnost ili manje blizu 50% jednog od članova grupe koji ima rođendan sa nama, da stavimo primjer.

Međutim, u rođendanskom paradoksu dolazi do ponavljanja. Odnosno, koliko je ljudi potrebno da bi dvoje od tih ljudi imalo rođendan na isti dan, bez obzira da li se radi o osobi ili danima. Da bismo to razumjeli i matematički prikazali, Zatim ćemo dublje vidjeti postupak iza paradoksa.

• Možda će vas zanimati: "12 zanimljivosti o ljudskom umu"

Mogućnost mogućeg podudaranja

Zamislimo da imamo samo dvoje ljudi u sobi. Ove dvije osobe, C1 i C2, mogu činiti samo par (C1=C2), s kojim imamo samo jedan par u kojem se može dogoditi ponovni rođendan. Ili imaju rođendane na isti dan, ili nemaju isti rođendan, druge alternative nema..

Da bismo matematički iskazali ovu činjenicu, imamo sljedeću formulu:

(Broj osoba x mogućih kombinacija)/2 = mogućnosti moguće slučajnosti.

U ovom slučaju, ovo bi bilo:

(2 x 1)/2 = 1 šansa za moguće podudaranje

Što se događa ako umjesto dvoje ljudi bude troje? Šanse za poklapanje idu do tri, zahvaljujući činjenici da se između te tri osobe mogu formirati tri para (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). Matematički predstavljeno imamo:

(3 osobe X 2 moguće kombinacije)/2 = 3 šanse za moguće podudaranje

Uz četiri postoji šest mogućnosti da se poklapaju među sobom:

(4 osobe X 3 moguće kombinacije)/2 = 6 šansi za moguće podudaranje

Ako idemo do deset ljudi, imamo puno više mogućnosti:

(10 osoba X 9 mogućih kombinacija)/2 = 45

Sa 23 osobe postoji (23×22)/2 = 253 različita para, svaki od njih kandidat je da njihova dva člana imaju rođendane na isti dan, priredivši sebi rođendanski paradoks i imajući više mogućnosti da se rođendani poklope.

procjena vjerojatnosti

Izračunat ćemo koja je vjerojatnost da grupa veličine n od njih dvoje ljudi, kakvi god bili, imaju rođendan na isti dan. Za ovaj specifičan slučaj, odbacit ćemo prijestupne godine i blizance, pod pretpostavkom da postoji 365 rođendana koji imaju istu vjerojatnost.

Korištenje Laplaceovog pravila i kombinatorike

Prvo, moramo izračunati vjerojatnost da n ljudi ima različite rođendane. Odnosno, računamo vjerojatnost suprotno od onoga što je navedeno u paradoksu rođendana. Za ovo, Moramo uzeti u obzir dva moguća događaja kada razmatramo izračune.

Događaj A = {dvije osobe slave rođendan na isti dan} Komplementarno događaju A: A^c = {dvije osobe ne slave rođendan na isti dan}

Uzmimo kao poseban slučaj grupu od pet ljudi (n=5)

Za izračun broja mogućih slučajeva koristimo sljedeću formulu:

dana u godini^n

Uzimajući u obzir da normalna godina ima 365 dana, broj mogućih slučajeva proslave rođendana je:

365^5 = 6,478 × 10^12

Prvi od ljudi koje odaberemo mogli su biti rođeni, kao što je logično misliti, bilo kojeg od 365 dana u godini. Sljedeći je možda rođen u jednom od preostala 364 dana, a sljedeći od sljedećih možda je rođen u jednom od preostala 363 dana, i tako dalje.

Iz ovoga slijedi sljedeći izračun: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6,303 × 10^12, što daje kao rezultat je broj slučajeva u kojima u toj skupini od 5 nema dvije osobe koje su rođene iste dan.

Primjenom Laplaceovog pravila izračunali bismo:

P (A^c) = povoljni slučajevi/mogući slučajevi = 6,303 / 6,478 = 0,973

Ovo znači to šanse da dvoje ljudi u grupi od 5 neće imati rođendan na isti dan su 97,3%. S tim podacima možemo dobiti mogućnost da dvije osobe imaju rođendan na isti dan, dobivajući komplementarnu vrijednost.

p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027

Dakle, iz ovoga se izvlači da su šanse da u grupi od pet ljudi, njih dvoje imaju rođendan na isti dan samo 2,7%.

Razumijevajući to, možemo promijeniti veličinu uzorka. Vjerojatnost da najmanje dvije osobe u skupu od n ljudi imaju isti rođendan može se dobiti pomoću sljedeće formule:

1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)

U slučaju da je n 23, vjerojatnost da barem dvoje od tih ljudi slavi godinu na isti dan je 0,51.

Razlog zašto je ova specifična veličina uzorka postala tako poznata je taj što je s n = 23 postoji čak i vjerojatnost da najmanje dvoje ljudi slavi rođendan na isti dan.

Ako povećamo na druge vrijednosti, na primjer 30 ili 50, imamo veće vjerojatnosti od 0,71 odnosno 0,97 ili što je isto 71% odnosno 97%. S n = 70 gotovo je zajamčeno da će se dvoje od njih poklopiti na njihov rođendan, s vjerojatnošću od 0,99916 ili 99,9%

Korištenje Laplaceovog pravila i pravila umnoška

Još jedan ne tako nategnut način razumijevanja problema je da se postavi na sljedeći način.

Zamislimo da je 23 ljudi zajedno u sobi i želimo izračunati šanse da nemaju iste rođendane.

Pretpostavimo da je u prostoriji samo jedna osoba. Šanse da će svi u prostoriji imati različite rođendane očito su 100%, odnosno vjerojatnost 1. Uglavnom, ta osoba je sama, a kako nema nikog drugog, njen rođendan se ne poklapa s ničijim.

Sada ulazi druga osoba, pa su u sobi dvije osobe. Izgledi da će ona imati drugačiji rođendan od prve osobe su 364/365, ovo je 0,9973 ili 99,73%.

Unesite trećinu. Vjerojatnost da ona ima drugačiji rođendan od druge dvije osobe, koje su ušle prije nje, je 363/365. Izgledi da sva trojica imaju različite rođendane su 364/365 puta 363/365, ili 0,9918.

Dakle, opcije za 23 osobe koje imaju različite rođendane su 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, što rezultira 0,493.

Drugim riječima, postoji 49,3% vjerojatnosti da nitko od prisutnih nema rođendan na isti dan i, dakle, obrnuto, računajući komplementarnost tog postotka imamo da postoji 50,7% šanse da barem dva od njih dijele rođendan

Za razliku od paradoksa rođendana, vjerojatnost da bilo tko u sobi od n osoba rođendan na isti dan kao i određena osoba, npr. mi sami u slučaju da smo tu, dana je sljedećom formulom.

1- (364/365)^n

S n = 23 to bi dalo oko 0,061 vjerojatnosti (6%), zahtijevajući najmanje n = 253 da bi se dobila vrijednost blizu 0,5 ili 50%.

Paradoks u stvarnosti

Postoji više situacija u kojima možemo vidjeti da je ovaj paradoks ispunjen. Ovdje ćemo staviti dva stvarna slučaja.

Prvi je onaj španjolskih kraljeva. Računajući od vladavine katoličkih monarha Kastilje i Aragona do vladavine Felipea VI od Španjolske, imamo 20 zakonitih monarha. Među tim kraljevima nalazimo, iznenađujuće, dva para koji se podudaraju na rođendane: Carlos II s Carlosom IV (11. studenog) i José I s Juanom Carlosom I (5. siječnja). Mogućnost da je postojao samo jedan par monarha s istim rođendanom, uzimajući u obzir da je n = 20, je

Još jedan stvaran slučaj je onaj velikog finala Eurosonga 2019. U finalu te godine, održanom u Tel Avivu, Izrael, sudjelovalo je 26 zemalja, od kojih 24 Slali su ili solo pjevače ili grupe u kojima je lik pjevača imao posebnu ulogu. Među njima su se na rođendanu poklopila dva pjevača: reprezentativac Izraela Kobi Marimi i švicarac Luca Hänni, a oboje rođendan slave 8. listopada.

Bibliografske reference:

• Abramson, M.; Moser, W. ILI. J. (1970). "Više rođendanskih iznenađenja". Američki matematički mjesečnik. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
• Bloom, d. (1973). "Rođendanski problem". Američki matematički mjesečnik. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
• Klamkin, M.; Newman, D. (1967). "Produžeci rođendanskog iznenađenja". Časopis za kombinatornu teoriju. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9