Techniki liczenia: rodzaje, jak ich używać i przykłady

Świat matematyki, podobnie jak fascynujący, jest również skomplikowany, ale być może dzięki jego złożoności możemy skuteczniej i wydajniej radzić sobie na co dzień.

Techniki liczenia to metody matematyczne, które pozwalają nam dowiedzieć się, ile różnych kombinacji lub opcji jest elementów w tej samej grupie obiektów.

• Polecany artykuł: „Psychometria: co to jest i za co odpowiada?”

Techniki te pozwalają w bardzo znaczący sposób przyspieszyć, wiedząc, na ile różnych sposobów można tworzyć sekwencje lub kombinacje obiektów, bez utraty cierpliwości i zdrowego rozsądku. Przyjrzyjmy się bliżej, czym one są i które są najczęściej używane.

Techniki liczenia: czym one są?

Techniki liczenia to matematyczne strategie stosowane w prawdopodobieństwie i statystyce, które pozwalają określić całkowita liczba wyników, które mogą istnieć z tworzenia kombinacji w zestawie lub zestawach przedmioty. Tego typu techniki stosuje się, gdy jest praktycznie niemożliwe lub zbyt ciężkie, aby ręcznie wykonać kombinacje różnych elementów i wiedzieć, ile z nich jest możliwych.

Ta koncepcja będzie łatwiej zrozumiana na przykładzie. Jeśli masz cztery krzesła, jedno żółte, jedno czerwone, jedno niebieskie i jedno zielone, ile kombinacji trzech z nich można ustawić obok siebie?

Ten problem można rozwiązać, robiąc to ręcznie, myśląc o kombinacjach takich jak niebieski, czerwony i żółty; niebieski, żółty i czerwony; czerwony, niebieski i żółty, czerwony, żółty i niebieski… Ale to może wymagać dużo cierpliwości i czasu, a do tego używalibyśmy technik liczenia, w tym przypadku konieczna jest permutacja.

• Możesz być zainteresowany przeczytaniem: „Rozkład normalny: co to jest, cechy i przykłady w statystykach”

Pięć rodzajów technik liczenia

Główne techniki liczenia to następujące pięć, choć nie jedyne, każdy z własnymi osobliwościami i używany zgodnie z wymaganiami, aby wiedzieć, ile kombinacji zestawów obiektów jest możliwych.

Właściwie tego typu techniki można podzielić na dwie grupy, w zależności od ich złożoności, z których jedna składa się z zasada multiplikatywna i zasada addytywna, a druga składa się z kombinacji i permutacje.

1. Zasada multiplikatywna

Ten rodzaj techniki liczenia, wraz z zasadą addytywną, pozwala na łatwe i praktyczne zrozumienie działania tych metod matematycznych.

Jeśli jedno zdarzenie, nazwijmy je N1, może wystąpić na kilka sposobów, a inne zdarzenie, N2, może wystąpić na wiele sposobów, to zdarzenia razem mogą wystąpić na N1 x N2.

Zasada ta jest stosowana, gdy akcja ma charakter sekwencyjny, to znaczy składa się ze zdarzeń zachodzących w uporządkowany sposób, takie jak budowa domu, wybór kroków tanecznych w dyskotece czy kolejność, po której nastąpi przygotowanie ciasto.

Na przykład:

W restauracji menu składa się z dania głównego, drugiego i deseru. Mamy 4 dania główne, 5 sekund i 3 desery.

Tak więc N1 = 4; N2 = 5 i N3 = 3.

Zatem kombinacje oferowane przez to menu to 4 x 5 x 3 = 60

2. Zasada dodawania

W tym przypadku, zamiast mnożyć alternatywy dla każdego zdarzenia, dodaje się różne sposoby, w jakie mogą one wystąpić.

Oznacza to, że jeśli pierwsza czynność może wystąpić w sposób M, druga w N, a trzecia L, to zgodnie z tą zasadą byłoby to M+N+L.

Na przykład:

Chcemy kupić czekoladę, w supermarkecie są trzy marki: A, B i C.

Czekolada A sprzedawana jest w trzech smakach: czarnym, mlecznym i białym, dodatkowo w opcji bez lub z cukrem dla każdego z nich.

Czekolada B sprzedawana jest w trzech smakach, czarnym, mlecznym lub białym, z możliwością orzechów laskowych lub bez, z cukrem lub bez.

Czekolada C sprzedawana jest w trzech smakach, czarnym, mlecznym i białym, z możliwością dodania orzechów laskowych, orzeszków ziemnych, karmelu lub migdałów, ale wszystkie z cukrem.

Na tej podstawie pytanie, na które należy odpowiedzieć, brzmi: ile różnych odmian czekolady można kupić?

W = liczba sposobów wyboru czekolady A.

Y = liczba sposobów wyboru czekolady B.

Z = liczba sposobów wyboru czekolady C.

Następnym krokiem jest proste mnożenie.

Szer. = 3 x 2 = 6.

Y = 3 x 2 x 2 = 12.

Z = 3 x 5 = 15.

W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 różne odmiany czekolady.

Aby wiedzieć, czy zastosować zasadę multiplikatywną, czy addytywną, główną wskazówką jest to, czy dana czynność Ma szereg kroków, które należy podjąć, tak jak w przypadku menu, lub jest kilka opcji, jak w przypadku czekolady.

3. Permutacje

Zanim zrozumiesz, jak wykonać permutacje, ważne jest, aby zrozumieć różnicę między kombinacją a permutacją.

Kombinacja to układ elementów, których kolejność nie ma znaczenia lub nie zmienia efektu końcowego.

Z drugiej strony, w permutacji, byłby układ kilku elementów, w którym ważne jest uwzględnienie ich kolejności lub położenia.

W permutacjach istnieje n liczba różnych elementów i wybierana jest ich liczba, która będzie równa r.

Formuła, która zostałaby użyta, byłaby następująca: nPr = n!/(N-r)!

Na przykład:

Jest grupa 10 osób i jest miejsce, które może pomieścić tylko pięć, na ile sposobów mogą siedzieć?

Zostaną wykonane następujące czynności:

10P5 = 10!/(10-5)!= 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30 240 różnych sposobów zajmowania banku.

4. Permutacje z powtórzeniami

Jeśli chcesz poznać liczbę permutacji w zbiorze obiektów, z których niektóre są takie same, postępuj w następujący sposób:

Biorąc pod uwagę, że n to dostępne elementy, niektóre z nich się powtarzają.

Wszystkie pozycje n są zaznaczone.

Obowiązuje następujący wzór: = n! / N1! N2... nk!

Na przykład:

Na łodzi można wynieść 3 czerwone, 2 żółte i 5 zielonych flag Ile różnych sygnałów można uzyskać, podnosząc 10 posiadanych flag?

10!/3!2!5! = 2520 różnych kombinacji flag.

5. Kombinacje

W kombinacjach, w przeciwieństwie do permutacji, kolejność elementów nie ma znaczenia.

Należy zastosować następujący wzór: nCr = n!/(N-r)!R!

Na przykład:

Grupa 10 osób chce posprzątać okolicę i przygotowuje się do utworzenia grup po 2. Ile grup jest możliwych?

W tym przypadku n = 10 i r = 2, a więc stosując wzór:

10C2 = 10! / (10-2)! 2! = 180 różnych par.

Odniesienia bibliograficzne:

• Brualdi, R. DO. (2010), Wstępna kombinatoryka (wyd. 5), Pearson Prentice Hall.
• przez Finetti, B. (1970). „Podstawy logiczne i pomiar prawdopodobieństwa subiektywnego”. Acta Psychologia.
• Hogg, R. V.; Craiga, Allena; McKean, Joseph W. (2004). Wprowadzenie do statystyki matematycznej (6th ed.). Upper Saddle River: Pearson.
• Mazur, D. R. (2010), Combinatorics: A Guided Tour, Mathematical Association of America,
• Ryser, H. JOT. (1963), Matematyka kombinatoryczna, Monografie matematyczne Carus 14, Stowarzyszenie Matematyczne Ameryki.