Techniky počítania: typy, spôsob ich použitia a príklady

Rovnako fascinujúci je svet matematiky aj komplikovaný, ale možno vďaka svojej zložitosti dokážeme zvládnuť každodenný deň efektívnejšie a efektívnejšie.

Techniky počítania sú matematické metódy, ktoré nám umožňujú zistiť, koľko rôznych kombinácií alebo možností existuje v rámci tej istej skupiny objektov.

• Odporúčaný článok: „Psychometria: čo to je a za čo je zodpovedná?“

Tieto techniky umožňujú veľmi významným spôsobom zrýchliť vedomie toho, koľko rôznych spôsobov existuje, aby sa vytvorili sekvencie alebo kombinácie objektov bez straty trpezlivosti alebo rozumu. Pozrime sa podrobnejšie, čo sú a ktoré sú najpoužívanejšie.

Techniky počítania: čo sú zač?

Techniky počítania sú matematické stratégie používané v pravdepodobnosti a štatistike, ktoré umožňujú stanovenie celkový počet výsledkov, ktoré môžu vzniknúť pri vytváraní kombinácií v rámci množiny alebo množín predmety. Tieto typy techník sa používajú, keď je nemožné a príliš ťažké robiť kombinácie rôznych prvkov ručne a vedieť, koľko z nich je možných.

Tento koncept bude ľahšie pochopený na príklade. Ak máte štyri stoličky, jednu žltú, jednu červenú, jednu modrú a jednu zelenú, koľko kombinácií troch z nich je možné usporiadať vedľa seba?

Tento problém by sa dal vyriešiť manuálnym myslením na kombinácie ako modrá, červená a žltá; modrá, žltá a červená; červená, modrá a žltá, červená, žltá a modrá... Ale to si môže vyžadovať veľa trpezlivosti a času, a preto by sme použili počítacie techniky, v tomto prípade je nutná permutácia.

• Mohlo by vás zaujímať: „Normálne rozdelenie: čo to je, charakteristiky a príklady v štatistike“

Päť typov techník počítania

Hlavné techniky počítania sú nasledujúcich päť, aj keď nie sú jediné, každý so svojimi osobitosťami a používaný podľa požiadaviek, aby vedel, koľko kombinácií súborov predmetov je možných.

Tento typ techník možno v skutočnosti rozdeliť do dvoch skupín, v závislosti od ich zložitosti, z ktorých je jedna zložená multiplikatívny princíp a aditívny princíp a druhý je tvorený kombináciami a permutácie.

1. Multiplikatívny princíp

Tento typ techniky počítania spolu s princípom aditív umožňuje ľahké a praktické pochopenie fungovania týchto matematických metód.

Ak sa jedna udalosť, nazvime ju N1, môže vyskytnúť niekoľkými spôsobmi a iná udalosť, N2, sa môže vyskytnúť toľkými spôsobmi, potom sa udalosti môžu vyskytnúť spoločne spôsobmi N1 x N2.

Tento princíp sa používa, keď je akcia postupná, to znamená, že sa skladá z udalostí, ktoré sa vyskytujú usporiadane, ako je stavba domu, výber tanečných krokov na diskotéke alebo poradie, podľa ktorého sa bude postupovať pri príprave a koláč.

Napríklad:

V reštaurácii sa menu skladá z hlavného jedla, druhého jedla a dezertu. Na hlavné jedlá máme 4, na sekundy 5 a na dezerty 3.

Takže N1 = 4; N2 = 5 a N3 = 3.

Kombinácie ponúkané v tomto menu by teda boli 4 x 5 x 3 = 60

2. Aditívny princíp

V takom prípade sa namiesto znásobenia alternatív pre každú udalosť stane, že sa pridajú rôzne spôsoby, ako k nim môže dôjsť.

To znamená, že ak sa prvá aktivita môže vyskytnúť M spôsobmi, druhá v N a tretia L, potom by podľa tohto princípu išlo o M + N + L.

Napríklad:

Chceme kúpiť čokoládu, v supermarkete sú tri značky: A, B a C.

Čokoláda A sa predáva v troch príchutiach: čierna, mliečna a biela, navyše pre každú z nich možnosť bez alebo s cukrom.

Čokoláda B sa predáva v troch príchutiach, čiernej, mliečnej alebo bielej, s možnosťou alebo bez lieskových orechov, s alebo bez cukru.

Čokoláda C sa predáva v troch príchutiach, čiernej, mliečnej a bielej, s možnosťou mať lieskové oriešky, arašidy, karamel alebo mandle, ale všetko s cukrom.

Na základe toho je potrebné zodpovedať otázku: koľko rôznych druhov čokolády je možné kúpiť?

W = počet spôsobov, ako zvoliť čokoládu A.

Y = počet spôsobov, ako vybrať čokoládu B.

Z = počet spôsobov, ako zvoliť čokoládu C.

Ďalším krokom je jednoduché násobenie.

Š = 3 x 2 = 6.

Y = 3 x 2 x 2 = 12.

Z = 3 x 5 = 15.

W + Y + Z = 6 + 12 + 15 = 33 rôznych druhov čokolády.

Ak chcete vedieť, či sa má použiť multiplikatívny alebo aditívny princíp, je potrebné zistiť, či ide o príslušnú činnosť Má vykonať niekoľko krokov, ako to bolo v prípade menu, alebo existuje niekoľko možností, ako je to v prípade čokolády.

3. Permutácie

Pred pochopením toho, ako vykonávať permutácie, je dôležité pochopiť rozdiel medzi kombináciou a permutáciou.

Kombinácia je usporiadanie prvkov, ktorých poradie nie je dôležité alebo nemení konečný výsledok.

Na druhej strane by v permutácii existovalo usporiadanie niekoľkých prvkov, v ktorých je dôležité brať do úvahy ich poradie alebo polohu.

V permutáciách existuje n počet rôznych prvkov a je vybratých niekoľko z nich, čo by bolo r.

Vzorec, ktorý by sa použil, by bol nasledovný: nPr = n! / (N-r)!

Napríklad:

Je tu skupina 10 ľudí a je tu sedadlo, do ktorého sa zmestí iba päť, koľko spôsobov si môžu sadnúť?

Stalo by sa toto:

10P5 = 10! / (10-5)! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30 240 rôznych spôsobov obsadenia banky.

4. Permutácie s opakovaním

Ak chcete poznať počet permutácií v množine objektov, z ktorých niektoré sú rovnaké, postupujte nasledovne:

Ak vezmeme do úvahy, že n sú dostupné prvky, niektoré sa opakovali.

Všetky položky sú vybraté.

Platí tento vzorec: = n! / N1! N2... nk!

Napríklad:

Na člne je možné vyvesiť 3 červené, 2 žlté a 5 zelených vlajok. Koľko rôznych signálov je možné vytvoriť zdvihnutím 10 vlajok, ktoré máte?

10!/3!2!5! = 2 520 rôznych kombinácií vlajok.

5. Kombinácie

V kombináciách nie je na rozdiel od toho, čo sa stalo s permutáciami, dôležité poradie prvkov.

Použije sa nasledujúci vzorec: nCr = n! / (N-r)! R!

Napríklad:

Skupina 10 ľudí chce vyčistiť okolie a pripravuje sa na vytvorenie dvojčlenných skupín.Koľko skupín je to možné?

V tomto prípade n = 10 a r = 2, teda s použitím vzorca:

10C2 = 10! / (10-2)! 2! = 180 rôznych párov.

Bibliografické odkazy:

• Brualdi, R. TO. (2010), Introductory Combinatorics (5. vydanie), Pearson Prentice Hall.
• autor: Finetti, B. (1970). "Logické základy a meranie subjektívnej pravdepodobnosti". Acta Psychologica.
• Hogg, R. V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Úvod do matematickej štatistiky (6. vydanie). Horná rieka Sedlo: Pearson.
• Mazur, D. R. (2010), Combinatorics: A Guided Tour, Mathematical Association of America,
• Ryser, H. J. (1963), Combinatorial Mathematics, The Carus Mathematical Monographs 14, Mathematical Association of America.