Narodeninový paradox: čo to je a ako to vysvetliť
Predstavme si, že sme so skupinou ľudí napríklad na rodinnom stretnutí, stretnutí v základnej triede alebo jednoducho pri poháriku v bare. Povedzme, že je tam asi 25 ľudí.
Medzi hlukom a povrchnými rozhovormi sme sa trochu odpojili a začali sme myslieť na svoje veci a zrazu sa sami seba pýtame: aká musí byť pravdepodobnosť, že medzi týmito ľuďmi majú dvaja ľudia narodeniny ten istý deň?
Narodeninový paradox je matematická pravda, na rozdiel od nášho inštinktu, ktorý tvrdí, že na to, aby bola takmer náhodná pravdepodobnosť, že dvaja z nich budú mať rovnaké narodeniny, je potrebných veľmi málo ľudí. Pokúsme sa dôkladnejšie pochopiť tento zvláštny paradox.
- Súvisiaci článok: "Logicko-matematická inteligencia: čo to je a ako ju môžeme zlepšiť?"
Narodeninový paradox
Narodeninový paradox je matematická pravda, ktorá stanovuje, že v skupine iba 23 ľudí existuje pravdepodobnosť blízka náhode, konkrétne 50,7 %, že aspoň dvaja z tých ľudí majú rovnaké narodeniny. Popularita tohto matematického tvrdenia je spôsobená prekvapivou skutočnosťou, že je potrebných tak málo. ľudia, aby mali celkom istú šancu, že budú mať zápasy na niečo tak rozmanité, ako sú narodeniny.
Aj keď sa tento matematický fakt nazýva paradox, v užšom zmysle to tak nie je. Je to skôr paradox, keďže sa to ukazuje ako kuriózne, keďže je to celkom v rozpore so zdravým rozumom. Keď sa niekoho spýtajú, koľko ľudí je podľa nich potrebné na to, aby mali oni dvaja narodeniny v ten istý deň, ľudia intuitívne dávajú 183, teda polovicu z 365.
Myšlienka za touto hodnotou je, že znížením počtu dní v bežnom roku na polovicu sa získa minimum potrebné na to, aby bola pravdepodobnosť blízka 50 %.
však nie je prekvapujúce, že pri pokuse o odpoveď na túto otázku sa uvádzajú také vysoké hodnoty, keďže ľudia často problém nechápu. Narodeninový paradox sa netýka pravdepodobnosti, že konkrétna osoba má narodeniny vzhľadom na ďalší v skupine, ale ako sme už poznamenali, je pravdepodobné, že dvaja ľudia v skupine budú mať rovnaké narodeniny deň.
Matematické vysvetlenie javu
Aby sme pochopili túto prekvapivú matematickú pravdu, v prvom rade treba mať na pamäti, že existuje veľa možností, ako nájsť páry, ktoré majú rovnaké narodeniny.
Človek by si na prvý pohľad pomyslel, že 23 dní, teda 23. narodeniny členov kapely, je príliš malý zlomok možného počtu odlišných dní, 365 dní v neprestupnom roku alebo 366 v priestupných rokoch, ako keby ste očakávali opakovania. Toto uvažovanie je skutočne presné, ale iba ak očakávame opakovanie v určitý deň. To znamená, a ako sme už poznamenali, potrebovali by sme zhromaždiť veľa ľudí, aby bola ešte jedna možnosť alebo menej blízko 50 % jedného z členov skupiny, ktorý má narodeniny s nami, povedané a príklad.
V narodeninovom paradoxe však vznikajú akékoľvek opakovania. To znamená, koľko ľudí je potrebných na to, aby dvaja z týchto ľudí mali narodeniny v rovnaký deň, pričom ide o osobu alebo dni. Aby sme to pochopili a ukázali to matematicky, Ďalej uvidíme podrobnejšie postup za paradoxom.
- Mohlo by vás zaujímať: "12 kuriozít o ľudskej mysli"
Možnosť prípadnej zhody
Predstavme si, že máme v miestnosti len dvoch ľudí. Títo dvaja ľudia, C1 a C2, mohli tvoriť iba pár (C1=C2), s ktorým máme len jeden pár, v ktorom sa môžu opakovať narodeniny. Buď majú narodeniny v ten istý deň, alebo nemajú v ten istý deň, iné alternatívy neexistujú..
Aby sme túto skutočnosť vyjadrili matematicky, máme nasledujúci vzorec:
(počet osôb x možné kombinácie)/2 = možnosti možnej zhody.
V tomto prípade by to bolo:
(2 x 1)/2 = 1 šanca na možný zápas
Čo sa stane, ak namiesto dvoch ľudí budú traja? Šance na zápas stúpajú na tri, vďaka tomu, že medzi týmito tromi ľuďmi môžu vzniknúť tri páry (Cl=C2; Cl=C3; C2=C3). Matematicky zastúpené máme:
(3 ľudia X 2 možné kombinácie)/2 = 3 šance na možný zápas
So štyrmi existuje šesť možností, ktoré sa medzi nimi zhodujú:
(4 osoby X 3 možné kombinácie)/2 = 6 šancí na možný zápas
Ak pôjdeme do desiatich ľudí, máme oveľa viac možností:
(10 ľudí X 9 možných kombinácií)/2 = 45
Pri 23 ľuďoch je (23×22)/2 = 253 rôznych párov, pričom každý z nich je kandidátom na to, aby ich dvaja členovia mali narodeniny v ten istý deň, čím si dávajú narodeninový paradox a majú viac možností mať narodeninovú zhodu.
odhad pravdepodobnosti
Ideme vypočítať, aká je pravdepodobnosť, že skupina s veľkosťou n ľudí bude dvoch z nich, nech sú akékoľvek, majú narodeniny v ten istý deň. V tomto konkrétnom prípade zahodíme priestupné roky a dvojčatá za predpokladu, že existuje 365 narodenín, ktoré majú rovnakú pravdepodobnosť.
Použitie Laplaceovho pravidla a kombinatoriky
Najprv musíme vypočítať pravdepodobnosť, že n ľudí má rôzne narodeniny. To znamená, že vypočítame pravdepodobnosť opačnú, ako je uvedené v narodeninovom paradoxe. Pre to, Pri výpočtoch musíme brať do úvahy dve možné udalosti.
Udalosť A = {dvaja ľudia oslavujú svoje narodeniny v ten istý deň} Doplnok k udalosti A: A^c = {dvaja ľudia neoslavujú svoje narodeniny v ten istý deň}
Zoberme si ako konkrétny prípad skupinu s piatimi ľuďmi (n=5)
Na výpočet počtu možných prípadov používame nasledujúci vzorec:
dni v roku^n
Ak vezmeme do úvahy, že bežný rok má 365 dní, počet možných prípadov osláv narodenín je:
365^5 = 6,478 × 10^12
Prvý z ľudí, ktorých vyberieme, sa mohol narodiť, ako je logické si myslieť, v ktorýkoľvek z 365 dní v roku. Ďalší sa mohol narodiť o jeden zo zostávajúcich 364 dnía ďalší z nasledujúcich sa mohol narodiť v jednom zo zostávajúcich 363 dní atď.
Z toho vyplýva nasledujúci výpočet: 365 × 364 × 363 × 362 × 361 = 6 303 × 10^12, čo dáva ako výsledkom je počet prípadov, keď v skupine 5 nie sú dvaja ľudia, ktorí sa narodili rovnako deň.
Aplikovaním Laplaceovho pravidla by sme vypočítali:
P (A^c) = priaznivé prípady/možné prípady = 6,303 / 6,478 = 0,973
To znamená, že pravdepodobnosť, že dvaja ľudia v skupine 5 nebudú mať narodeniny v ten istý deň, sú 97,3 %. S týmito údajmi môžeme získať možnosť, že dvaja ľudia budú mať narodeniny v rovnaký deň, čím získame doplnkovú hodnotu.
p(A) = 1 - p(A^c) = 1 - 0,973 = 0,027
Z toho teda vyplýva, že šanca, že v skupine piatich ľudí budú mať dvaja narodeniny v ten istý deň, je len 2,7 %.
Keď to pochopíme, môžeme zmeniť veľkosť vzorky. Pravdepodobnosť, že aspoň dvaja ľudia na stretnutí n ľudí majú rovnaké narodeniny, možno získať pomocou nasledujúceho vzorca:
1- ((365x364x363x…(365-n+1))/365^n)
V prípade, že n je 23, pravdepodobnosť, že aspoň dvaja z týchto ľudí oslavujú roky v ten istý deň, je 0,51.
Dôvodom, prečo sa táto špecifická veľkosť vzorky stala tak známou, je to, že s n = 23 je dokonca pravdepodobnosť, že narodeniny v ten istý deň oslavujú aspoň dvaja ľudia.
Ak zvýšime na iné hodnoty, napríklad 30 alebo 50, máme vyššie pravdepodobnosti 0,71 a 0,97, alebo čo je rovnaké, 71 % a 97 %. S n = 70 je takmer zaručené, že dvaja z nich sa budú zhodovať v deň ich narodenín, s pravdepodobnosťou 0,99916 alebo 99,9 %
Použitie Laplaceovho pravidla a pravidla súčinu
Ďalším nie až tak pritiahnutým spôsobom pochopenia problému je položiť ho nasledovne.
Predstavme si, že 23 ľudí je spolu v miestnosti a chceme vypočítať šancu, že nemajú spoločné narodeniny.
Predpokladajme, že v miestnosti je len jedna osoba. Šanca, že každý v miestnosti bude mať iné narodeniny, je samozrejme 100%, teda pravdepodobnosť 1. V podstate je ten človek sám a keďže tam nikto iný nie je, jeho narodeniny sa nezhodujú s narodením niekoho iného.
Teraz vojde ďalšia osoba, a preto sú v miestnosti dvaja ľudia. Pravdepodobnosť, že bude mať iné narodeniny ako prvá osoba, je 364/365, to je 0,9973 alebo 99,73 %.
Zadajte tretinu. Pravdepodobnosť, že má iné narodeniny ako ostatní dvaja ľudia, ktorí vstúpili pred ňou, je 363/365. Pravdepodobnosť, že všetci traja majú rozdielne narodeniny, je 364/365 krát 363/365 alebo 0,9918.
Takže možnosti pre 23 ľudí s rôznymi narodeninami sú 364/365 x 363/365 x 362/365 x 361/365 x... x 343/365, výsledkom čoho je 0,493.
Inými slovami, existuje 49,3% pravdepodobnosť, že nikto z prítomných nemá narodeniny v ten istý deň, a teda naopak, pri výpočte komplementárneho percenta máme, že existuje 50,7 % šanca, že aspoň dvaja z nich zdieľajú narodeniny
Na rozdiel od paradoxu narodenín, pravdepodobnosť, že niekto v miestnosti n osoby narodeniny v ten istý deň ako konkrétna osoba, napríklad my v prípade, že sme tam, je daný nasledujúcim vzorcom.
1- (364/365)^n
S n = 23 by to dávalo asi 0,061 pravdepodobnosti (6 %), čo by si vyžadovalo aspoň n = 253, aby sa získala hodnota blízka 0,5 alebo 50 %.
Paradox v realite
Je viacero situácií, v ktorých môžeme vidieť, že tento paradox sa napĺňa. Tu uvedieme dva skutočné prípady.
Prvým je ten španielskych kráľov. Od vlády katolíckych panovníkov z Kastílie a Aragónska po panovanie Filipa VI. Španielska máme 20 legitímnych panovníkov. Medzi týmito kráľmi nájdeme prekvapivo dva páry, ktoré sa zhodujú v deň narodenín: Carlos II. s Carlosom IV. (11. novembra) a José I. s Juanom Carlosom I. (5. januára). Možnosť, že existoval iba jeden pár panovníkov s rovnakými narodeninami, berúc do úvahy, že n = 20, je
Ďalším skutočným prípadom je veľké finále Eurovízie v roku 2019. Finále toho roku, ktoré sa konalo v Tel Avive v Izraeli, sa zúčastnilo 26 krajín, z toho 24 Vyslali buď sólových spevákov, alebo skupiny, kde postava speváka prebrala špeciálnu úlohu. Medzi nimi sa na narodeniny zhodovali dvaja speváci: predstaviteľ Izraela Kobi Marimi a ten zo Švajčiarska Luca Hänni, obaja oslavujú svoje narodeniny 8. októbra.
Bibliografické odkazy:
- Abramson, M.; Moser, W. BUĎ. J. (1970). "Viac narodeninových prekvapení". Americký matematický mesačník. 77 (8): 856–858. doi: 10.2307/2317022
- Bloom, d. (1973). "Narodeninový problém". Americký matematický mesačník. 80 (10): 1141–1142. doi: 10.2307/2318556
- Klamkin, M.; Newman, D. (1967). "Predĺženie narodeninového prekvapenia". Journal of Combinatorial Theory. 3 (3): 279–282. doi: 10.1016/s0021-9800(67)80075-9